2017.C.8 str 39
Miary kątów trójkąta są równe jak na rysunku do zadania (nie wiem jak go dodać). Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta odpowiednio D i E (rysunek w książce)
Wykaż, że jeśli alfa + beta = 2*gamma, to na czworokącie DCES można opisać okrąg
Założenia: alfa + beta =2*gamma
Teza: gamma + kąt EDS = kąt CES + kąt SDC
Zrobiłam to w ten sposób:
EC = CD z twierdzenia o stycznej
Dorysowana prosta CS przecina kąt gamma na pół (twierdzenie o środku okręgu wpisanego)
Jeśli tak, to trójkąt ESC jest przystający do CSD (bkb, mają wspólny bok CS oraz ED=CD, pomiędzy tymi bokami jest kąt 1/2gamma)
Jeśli są przystające to mają takie same kąty w swoich środkach, czyli
Kąt CES = kąt SDC
Kąt ESC = kąt DSC
Ponadto z założenia i z kątów w trójkącie możemy wywnioskować, że
180°=alfa + beta + gamma
Alfa + beta = 2*gamma
180° = 3*gamna
Gamma=60°
Pół gammy to 30°
Tak więc trójkąty SDC i ESC to trójkąty charakterystyczne 30° 60° 90°
Bo kąt pomiędzy promieniem a stycznią = 90°, a takimi kątami są SDC i CES
Tak więc kąt CES + kątSDC = 180°
KątESC +kąt DSC = 120° (oba mają po 60°) = kąt ESD
120° + kąt ECD = 180°
Kąt CES + kąt SDC = kąt ESD + kąt ECD
Co należało wykazać
Czy to jest dobre rozwiązanie?
#matematyka #matura #rozszerzenie #poziomrozszerzony Dodaj post do ulubionych Poproś o pomoc
- 0
- Zaloguj się lub zarejestruj, by móc oceniać komentarze.
- Dodaj do ulubionych
Wszystko jest ok :)