Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu
Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (an) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε (epsilon) prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) znajdują się w odległości mniejszej niż ε od liczby g.
Jeśli liczba rzeczywista g jest granicą ciągu (an) to
zapisujemy: 
lub 
, jeśli 
. Mówimy wówczas, że ciąg (an)
jest zbieżny do granicy g.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu rozumiemy jako „wszystkie wyrazy ciągu od pewnego miejsca”, więc:
Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (an) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba δ (delta), że dla każdej liczby naturalnej n większej od δ zachodzi nierówność |an-g| < ε.
Jeśli
i 
, to istnieją granice ciągów
(an+bn),(an-bn),(an⋅bn) oraz 
przy dodatkowym założeniu, że b≠0 i 
≠0 dla każdej liczby
naturalnej dodatniej n, i prawdziwe są następujące równości:
Przykład 1
Oblicz:
a) 
= ?
b) 
= ?
c) 
= ?
Ad. a) =
Ad. b) Granicę tego typu liczymy poprzez podzielenie
licznika oraz mianownika przez najwyższy wspólny czynnik, będący potęgą o
wykładniku (xn+m). W tym przypadku jest to 
:=
Ad. c)
Metoda postępowania z tego
typu granicą jest niemal zawsze taka sama. Aby ją obliczyć należy pomnożyć
licznik i mianownik przez sprzężenie licznika tj. przez wyrażenie, generujące w
liczniku wzór skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a^2-b^2, gdzie a = n oraz b =
:
=
Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone (an),(bn),(cn),
oraz istnieje taka liczba δ, że dla każdej
liczby naturalnej n większej od δ prawdziwa jest nierówność 
, to 
.
Przykład 2
Oblicz:
a) 
= ?
b) 
= ?
Ad. a) Z twierdzenia
o trzech ciągach wynika:
Ad. b) Z własności
funkcji cosx oraz na mocy twierdzenia o trzech ciągach:
oraz 
= 0
Jeśli:
, to: 
.Jeśli:
, to: 
Ciąg nieskończony (an) nazywamy ciągiem rozbieżnym do plus nieskończoności (odpowiednio ciągiem rozbieżnym do minus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istnieje taka liczba δ, że dla każdej liczby naturalnej n > δ zachodzi nierówność an > M (odpowiednio an < M).
Dane są nieskończone ciągi (an) i (bn) dla których
, . Wówczas:Jeśli b > 0, to
Jeśli b < 0, to
Przykład 3
Oblicz:
a) 
= ?
b) 
= ?
Ad. a) 
=
Ad. b) 
= 
Jeśli dany jest ciąg nieskończony (an), dla którego
to 
.
= 
= 
Zadania do zrobienia
1. Na podstawie twierdzenia o trzech
ciągach wyznacz granicę 
Odp. 
2. Czy prawdziwe jest zdanie: „Jeśli dany
jest ciąg nieskończony 
Odp. nie jest prawdziwe; np. jeśli 
