Niech dana będzie funkcja f, określona wokół punktu . Możemy zbadać do jakiej granicy dążą wartości f(x) funkcji f, jeśli argumenty x są coraz bliższe liczbie  (aby funkcja f miała granicę w punkcie , funkcja ta musi być określona „wokół” tego punktu, czyli w pewnym sąsiedztwie do .

Sąsiedztwem punktu  o promieniu  nazywamy zbiór  i oznaczamy S(x0) lub S(x0, ). Przedział  nazywamy sąsiedztwem lewostronnym punktu x0 o promieniu  i oznaczamy jako  lub . Analogicznie przedział  nazywamy sąsiedztwem prawostronnym i oznaczamy jako  lub .

Jak się okazuje funkcja f(x) nie musi być określona w punkcie , aby granica określona dla tego punktu istniała, co będzie przedmiotem dalszych rozważań m.in. w przykładzie 1a oraz przykładzie 1b, jak i kolejnych podrozdziałów.

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie . Granicą funkcji f w punkcie  jest liczba g – co zapisujemy  – wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) takiego, że xn  oraz , prawdziwa jest równość

Przykład 1
Oblicz:

a)    f(x) = +5 i =-1

b)    f(x) =  i

c)     i

Ad. a) Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie , zatem
Ad. b) Dziedziną funkcji f(x) jest , a f()=. W takich przypadkach należy uprościć licznik z mianownikiem lub skorzystać z Reguły de l’Hospitala.

f(x) = =x-1
  = 1

h(x) =
g(x) = x-2


Ad. c) Podobnie jak we wcześniejszym przypadku f()=. Nie możemy jednak skorzystać z Reguły de l’Hospitala, gdyż nie potrafimy wskazać pochodnej licznika oraz mianownika. Należy więc wyrażenie f(x) sprowadzić do jak najprostszej postaci.

Przykład 2
Porównaj granice funkcji f(x) = w punktach = 1 oraz = 0:

Na podstawie twierdzenia 8 z podrozdziału "Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu":

.

Zadania do zrobienia