Obliczanie granic funkcji w punkcie
Dużym ułatwieniem w obliczaniu granic funkcji w punkcie
stanowią twierdzenia wynikające bezpośrednio z własności granic ciągów, a także
definicja Heinego granicy funkcji w punkcie.
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S(
oraz:
a) funkcja f jest stała, tzn. f(x) = c, jeśli x
, to istnieje granica
funkcji f w punkcie 
i 
;
b) f(x) = x, jeśli x , to istnieje granica
funkcji f w punkcie i 
.
Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S(
oraz:a) funkcja f jest stała, tzn. f(x) = c, jeśli x
, to istnieje granica
funkcji f w punkcie i ;b) f(x) = x, jeśli x
, to istnieje granica
funkcji f w punkcie i .Twierdzenie 2
Jeżeli istnieją granice
oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to
istnieją również granice: 
, 
,
, 
( przy dodatkowym założeniu, że 
) i prawdziwe są równości:
=
=
+
-
=
=
Jeżeli istnieją granice
oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to
istnieją również granice: , ,, ( przy dodatkowym założeniu, że ) i prawdziwe są równości:==+-==Twierdzenie 3
Jeśli=g, gdzie g > 0, to 
.
Jeśli
=g, gdzie g > 0, to .Przykład 1
Oblicz:
oraz 
=0
f(x) = ?
Podobnie jak ma to miejsce w przykładzie 1c w podrozdziale "Uzupełnienie wiedzy o granicach ciągu" należy pomnożyć
licznik oraz mianownik przez sprzężenie licznika, tak aby w liczniku otrzymać
wzór skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a^2-b^2, gdzie a=
oraz b=3:
= 
Twierdzenie 4 (o trzech funkcjach)
Jeżeli funkcje f, g, h są określone w pewnym sąsiedztwie S() i dla dowolnej liczby x z
tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność 
oraz istnieją granice funkcji f i h w punkcie i =
=a, to istnieje granica
funkcji g w punkcie i =a.
Jeżeli funkcje f, g, h są określone w pewnym sąsiedztwie S(
) i dla dowolnej liczby x z
tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność oraz istnieją granice funkcji f i h w punkcie i ==a, to istnieje granica
funkcji g w punkcie i =a.Zadania do zrobienia
1. Oblicz granice:
a) 
b) 
c) 
Odp. a) 
b)
c)
2. Oblicz granice:
a) 
b)
Odp. a)
b)
