Rozważmy funkcję . Jak łatwo zauważyć dziedzinę tej funkcji definiujemy jako przedział . Dla prawie każdej liczby x0 z tego przedziału jesteśmy w stanie podać granicę . Nie jesteśmy jednak w stanie podać granic tej funkcji dla punktów , jako iż funkcja jest określona odpowiednio w prawostronnym sąsiedztwie do punktu -3 oraz lewostronnym do punktu 3. Takie rozumowanie prowadzi nas do pojęcia granic jednostronnych funkcji w punkcie.

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie . Granicą prawostronną funkcji f w punkcie  jest liczba g – co zapisujemy  – wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach należących do  i takiego, że , prawdziwa jest równość

Definicja 2
Niech funkcja f będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie . Granicą lewostronną funkcji f w punkcie  jest liczba g – co zapisujemy  – wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach należących do  i takiego, że , prawdziwa jest równość

Twierdzenie 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie . Granica funkcji f w punkcie  istnieje i jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice: lewostronna i prawostronna tej funkcji w punkcie  i granice te są równe g, więc:  

Przykład 1

Zbadaj istnienie granicy dla punktu

Aby granica w punkcie  istniała, granica lewostronna oraz prawostronna muszą być dla tego punktu równe:



Podsumowanie:
 , co pozwala stwierdzić, iż granica w punkcie  istnieje.

Zadania do zrobienia