Granice niewłaściwe funkcji
. Niech (xn) będzie dowolnym
ciągiem o wyrazach, sąsiadujących z punktem 7 i takim, że 
. Korzystając z twierdzenia
6 jesteśmy w stanie wskazać granicę w punkcie xn dla 
:
Niech funkcja f będzie określona w sąsiedztwie S(x0). Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą plus nieskończoność (
) – co zapisujemy 
- wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu
(xn) o wyrazach należących do sąsiedztwa S(x0) i takiego, że 
, prawdziwa jest równość 
.Przykład 1
Wyznacz granicę w punkcie x0 (odpowiednio x0 = -5 dla przykładu a, x0 = 8 dla przykładu b):
a)
Aby zbadać istnienie granicy w punkcie x0 należy sprawdzić
jaką wartość dla -5 funkcja osiąga z lewej oraz prawej strony tego punktu.
Podsumowanie: 
, więc granica w punkcie -5
istnieje.
b)
Podsumowanie:
, więc granica w punkcie 8
nie istnieje
Niech funkcje f i g będą określone w sąsiedztwie punktu x0 oraz
, gdzie 
, 
. Wówczas:a)
=
b)
=
c) Jeśli a > 0, to
=d) Jeśli a < 0, to
=
I. Jeśli 
i 
, to granica 
może być właściwa, niewłaściwa lub może nie
istnieć.
Analogiczny sytuacja zachodzi dla granicy 
.
II. Jeśli 
i (lub -
, to granica 
może być właściwa,
niewłaściwa lub może nie istnieć.
Przykład 2
Oblicz:
a) 
b) 
Ad. a) Liczymy granice jednostronne:
Więc:
=
Ad. b) Wyłączając zmienną x przed nawias otrzymujemy:
Udowodniliśmy wcześniej, iż 
= 0 korzystając z twierdzenia o trzech ciągach.
Jesteśmy więc w stanie bezpośrednio wyliczyć poszukiwaną granicę:
=
Zadania do zrobienia
1. Oblicz granice:
a) 
b) 
Odp. a) +
b) 
2. Oblicz granice:
a) 
b) 
Odp. a)
b) 
3. Oblicz granice:
a) 
b) 
c) 
Odp. a) 
b)
c) .