1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Monotoniczność ciągów



Przypomnijmy: f jest rosnąca w zbiorze B gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2, które należą do zbioru B oraz spełniają warunki  x1>x2 oraz f(x1)>f(x2). Ta definicja funkcjonuje dla ciągów nieskończonych, przy założeniu, że dziedziną ciągu jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.
Zatem definicja przyjmuje następującą postać:

(*) Ciąg an jest rosnący wtedy, gdy dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich k,l z nierówności k<l wynika nierówność ak<al.

Jednak dla ciągu rosnącego wystarczy zażądać, by dla dowolnej pary kolejnych wyrazów an i an+1 spełniona została nierówność an<an+1. Dzięki temu otrzymujemy  prostszą definicję równoważną z definicją (*)

Definicja 1.
Ciąg an nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność an+1>an

Potocznie mówimy, że ciąg an jest rosnący gdy każdy jego wyraz jest większy od poprzedniego (oprócz pierwszego)
Analogicznie jest z ciągiem malejącym jak i stałym.

Definicja 2.
Ciąg an nazywamy ciągiem malejącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność an+1<an.

Mówimy, że ciąg an jest malejący gdy każdy jego wyraz jest mniejszy od poprzedniego ( oprócz pierwszego)

Definicja 3.
Ciąg an nazywamy ciągiem stałym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest równość an+1=an.


Przykład 1.

Zbadamy, czy ciąg nieskończony o wyrazie ogólnym an= n2-4n jest rosnący, czy malejący.
Badamy znak różnicy:

an+1-an= [(n+1)2 – 4(n+1)]- (n2 – 4n)= n2+2n+1-4n-4 – n2+4n= 2n-3

Sprawdzamy kolejne wyrazy ciągu:
a1=-1      a2=1     a3=3     a4=5    ….

Widzimy, że an+1>an zatem ciąg jest rosnący.

Definicja 4.
1)Ciąg an nazywamy ciągiem niemalejącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność an+1≥an.
2)Ciąg an nazywamy ciągiem nierosnącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność an+1≤an.


Oczywistym jest, że każdy ciąg rosnący jest ciągiem niemalejącym oraz każdy ciąg malejący jest ciągiem nierosnącym.
Ciągiem niemalejącym ale nie rosnącym jest np. ciąg (1,3,3,4,6,6,8,9,…)
Ciągiem nierosnącym ale nie malejącym jest np. ciąg ( 11,9,8,8,6,5,3,3,…)
Ciągi takie nazywamy ciągami monotonicznymi.



Zadania do zrobienia


1. Zbadaj monotoniczność ciągów

a) an =

 b) an = -2n2 + 6n - 2

 

Odp.      a) ciąg rosnący

                b) ciąg nierosnący

 

2. Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (an), jeśli:

a) an = (-5)n

b) an = -3n

 

Odp.      a) ciąg niemonotoniczny

                b) ciąg rosnący

 

3. Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (an), jeśli:

 

a)

 

b)

 

Odp.      a) ciąg malejący

                b) ciąg niemonotoniczny