Aby zbadać ciągłość funkcji w punkcie x0 należy zbadać, czy
funkcja jest określona w sąsiedztwie S(x0), ale też czy funkcja jest określona
dla samego punktu x0. Ma być więc określona w zbiorze
![](data:image/png;base64,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)
. Zbiór ten nazywamy otoczeniem
punktu x0 i oznaczamy
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAoAAAATCAMAAACeNWzcAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAEVQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OpDbZjoAZrb/kDoAkNv/tmYAtv//25A627Zm2////7Zm/9uQ/9u2///byrDeEQAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAASUlEQVQYV2NgIBOIsDOyMYjxMLIC9Qsw8zMwiHDwApl8bEBCmFWIASjHDeODpSB8sBSmUk6YUgY+oAJBJpBRDKJcjIwsYBYJAAARdgKy21ytiwAAAABJRU5ErkJggg==)
(x0).
W ten sam sposób zbiór
![](data:image/png;base64,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)
nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu x0 i
oznaczymy
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABIAAAATCAMAAACqTK3AAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAEVQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OpDbZjoAZrb/kDoAkNv/tmYAtv//25A627Zm2////7Zm/9uQ/9u2///byrDeEQAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAAV0lEQVQoU2NgoDEQYWdkYxDjYWQVQlgkwMzPwCDCwYtkNR8bkCOMrEiMhxsoBBaHAbAWiDgMgLUQNooT3SgGPqBGQSZkJzCIcjEysgBFgE4GAlQ5ikMJAAOFAvKLZ6PJAAAAAElFTkSuQmCC)
(x0), a zbiór
![](data:image/png;base64,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)
nazywamy otoczeniem prawostronnym punktu x0 i
oznaczamy
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABIAAAATCAMAAACqTK3AAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAEVQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OpDbZjoAZrb/kDoAkNv/tmYAtv//25A627Zm2////7Zm/9uQ/9u2///byrDeEQAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAAZElEQVQoU7WOOxKAMAhEwU/8YYwauf9RRZAxjYWF22TyYJcF+Fm5wwBM2G7PoVQvALmfi9MxyGcvl5gmQcpdajHuUstrVBp0j+l6LepGEMW4VlrB0TEiNkKksshmRWnL+o7McQIzWwOIoDPyWQAAAABJRU5ErkJggg==)
(x0).
Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu
(x0). Funkcja f jest ciągła
w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:
Istnieje właściwa granica
oraz
Prawdziwa jest równość
= f(x0).
Punkt x0 należący do dziedziny funkcji f, w którym funkcja nie
jest ciągła określamy jako punkt nieciągłości funkcji f.
Przykład 1
Zbadaj ciągłość funkcji w punkcie x0:
a) ![](data:image/png;base64,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)
b) ![](data:image/png;base64,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)
Ad. a) Wiemy, że funkcja f jest określona dla punktu x0 = 2.
Sprawdźmy, czy istnieje granica dla tego punktu:![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAbAAAAAnCAMAAABZhO1XAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAMNQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OgBmOjo6OjpmOjqQOmZmOmaQOma2OpC2OpDbZgAAZgA6ZjoAZjo6ZjpmZjqQZmZmZmaQZma2ZpC2ZpDbZrbbZrb/kDoAkDo6kDpmkGaQkJxmkLb/kNvbkNv/tmYAtmY6tmZmtmaQtpBmtpCQtrbbtrb/ttuQttvbttv/tv//25A625Bm27Zm27aQ29uQ29u22/+22////7Zm/9uQ/9u2/9vb//+2///bzvb6pAAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAGNUlEQVR4Xu1aC3PbNgyW3CTulq1dnXTrtrjq1iZOuu6R2M42S5n0/3/VAL5EUqRAUqqj9Mw7uVcFjw8EAZIQsuwwDjNwmIEvZwaad3n+Yhdiz3YeSBgijKRpfnvZoiJUryWpweRToahJDJMkqH/Y1WdXAdCqb3YPi7cBhKOQNO+WrRxSdXV6h9QGkx+GoPYQfOyuXserUYxMFXL/kyvC/rvO8yPTk80vbF5Ch0NCKGu2fmWS+lQ/vGYQy2M0wWaytCk8nLo71jkM82+OV8E2fCbCejG7kKK1WGuKi6wpTPQbFWD+oGz/4pIQakNHvkf1Zv6Mx1YB0FygnBYxapfDuo5ce3wbashnoWsznW2yCXfzQakPcRgjTjTYjgGP6s2y5A7LVhCRrsBxW4TUT81h1fx4V5+fZLA/tAvONK/Znt5mmSTMYJGXcmXqhIqATYEhgktIGKsTZCJVg5OEw3BhWExdOJnE41lGjteJCy7BZIKl+fWfs0vckhrYql46UiIEBzs+KsJqDgne4TBFwIXoDuMSUgYLAVI10EiHYXSZTF04wiLkcie6LVhobduOVyn2jMHTFCa2psAtF8ZMnTQeFmgYSagIuiK4hPghchapuuswDa/XIp/DcJGseMiuWtzyVbwVI3OsWdoxhp3xS+Y8klAnsERwCdGDZ7cA1d2UaDJ5LPIvo+o5A6w5LBOvoo0YmaF63UXdMQ+XG0loENgOE3tMJHiRs0jVKsLQwy4mp0Vit3NicnhnGg57+PHv55cfrXuVZl69WEIyhGmgCC2CVoSSEOksJOdSSNXgJB7B2rHeZHJZxKm7oynAZD20UG7nVYI1WgEmucyyOrpripmNW1+P9+fsyEASWgSaCCEhwUJ+ByZVZ+XXsOeegsvai7MfTqbweM4czTWcq8xTkuNVvDlm1YYXZb64EVhlEnaPWZqKm0qoWq1zyEPu4391nj+7tQowvjIL6q1EHSAOw76o+9EF1XEF1Mcp/qqqFe6fTofBplB/f2dto74yC7OFeVMepPbliGA900ZHmqF85DhFc2ZOYYeUp8zCObondxLH/gimjY6cB91hJdSMy/xkO58tIQ1+x3jZNRC3YrNq01utW71FNvyZXW3nR3cbeEggeyOYNjpyGowIw/+sZ0t4LrKtuMqI5GcXYGTEOe71LHviz81fxZtlvcBnb1+0TIMnic4BqsdNNrWqWmGmYA6DB/cfeW8Tm5ddtek5dUBhF04e+FMvXvFHfqsUZai9/OOZhMdF5wDVMxkeE3jVyucwcXiwqzY99WS2SbCf6itwPDx9Z0oyB4xMMG10YcayYPI5TOzRdgFGOtAR37BJwJ6HPzJiH22fnyS6YSkRXcocJo/1VkpsCv7Vzara9BzrgfLmFnatm1v25QEekLFJKsaGrbcoqkHogm5pyWWgIDtU1aqEs6B4TuAb1PG/i5ydOtR5waza9CQ5VntiP8jL+K/bdoAgVGT7CUngVZOKDjUG1kH6u22oCSBMI6tW6v67p9IU2X5CElAzEv13pZHotoGysd6bE60Hv3Ta3TjRQhq5V8H6alv2oqMeutoCVZMfx0mCQEUaGYFOavR3lAhZRm9OPIzUThRdU71I/NguhYhezIk6LAyddBh11jV7cx7HYQlaW5ZPcKZnbaCwN+Z8R6SHnB2zx0bjGyvCwtFJja5uG9Mg/UM0bWqHYizTbMG94bKeXZVzXteAkjH8sl7M8AgTF3mrx0aDMKg/JQmd1OjqtnE7jIpFjzMHmeaSGZBB6j/W3/58/17c3vHyzHoxwx2GLmYX+Z4em+T+lGR0TGOnRadzodKbqRIiTNmexmtyBWeQEmtSbYRpvZjBMHhVrOe2nd7ukIoONfa06AjTBqZElJJuGk5Zm95C89unP9+cXf7O8YOPjTbQOIe5OmGkhFSr0tGhxp4WHcth7dE62OahprE9iKW3K3ZkgBGS35rixW6ltZgZbaAh4NVF3tkJgzljQH9KGjqlsadFRzpM680JsdakGWKaBKDSG4+wlPwWB1xe5N2dMOiwbstKnIZo6lajv0WHCbV6cwYoimYVKU1Lb+n5LVH5FNn2UppKN9xOINBco7W5p8t9wpwTKP4+4dk7QD/MwBOagf8BkbEi58QmSHIAAAAASUVORK5CYII=)
=
= 5, więc istnieje granica funkcji w punkcie 2
równa 5.
Kolejnym krokiem jest określenie f(
) = f(2):
f(2) = ![](data:image/png;base64,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)
, zatem funkcja f jest ciągła
w punkcie 2.
Ad. b) Funkcja f jest określona dla punktu x0 = 3.
Analogicznie do przykładu a, sprawdzamy istnienie granicy dla tego punktu, ale
mając tym razem na uwadze, że x0 = 3 „wypada” z dziedziny funkcji
:
![](data:image/png;base64,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)
= 0
, więc nie istnieje granica
funkcji w punkcie 3. To oznacza że funkcja f nie jest ciągła w punkcie 3.
Definicja 2Niech funkcja f będzie określona w lewostronnym (odpowiednio
prawostronnym) otoczeniu punktu x0. Funkcja f jest lewostronnie (odpowiednio
prawostronnie) ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
(odpowiednio
) oraz prawdziwa jest
równość
= f(x0) (odpowiednio
= f(x0)).
Twierdzenie 1
Funkcje: wielomianowe, wymierne, potęgowe, logarytmiczne i
trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie, w którym są określone.
Twierdzenie 2Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to w tym punkcie
ciągłe też są funkcje
(przy dodatkowym założeniu, że g(x0)
0).
Twierdzenie 3Jeżeli funkcja f określona w pewnym otoczeniu
(x0) punktu x0 jest ciągła w
punkcie x0 oraz f(x0) > 0 (odpowiednio f(x0) < 0), to istnieje takie
otoczenie
punktu x0, że
oraz f(x) > 0 (odpowiednio f(x) < 0) dla
każdej liczby x
.
Zadania do zrobienia
1. Zbadaj ciągłość funkcji
w
punkcie 1 , jeśli:
a)
.
b)
.
Odp. a)
jest ciągła
b) jest ciągła
2. Wykaż, że funkcja:
![](data:image/png;base64,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)
nie jest ciągła w punkcie 2.