Aby zbadać ciągłość funkcji w punkcie x0 należy zbadać, czy funkcja jest określona w sąsiedztwie S(x0), ale też czy funkcja jest określona dla samego punktu x0. Ma być więc określona w zbiorze . Zbiór ten nazywamy otoczeniem punktu x0 i oznaczamy (x0).

W ten sam sposób zbiór  nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu x0 i oznaczymy (x0), a zbiór  nazywamy otoczeniem prawostronnym punktu x0 i oznaczamy (x0).

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu (x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:
Istnieje właściwa granica  oraz
Prawdziwa jest równość  = f(x0).

 
Punkt x0 należący do dziedziny funkcji f, w którym funkcja nie jest ciągła określamy jako punkt nieciągłości funkcji f.

Przykład 1

Zbadaj ciągłość funkcji w punkcie x0:
a)    
b)    

Ad. a) Wiemy, że funkcja f jest określona dla punktu x0 = 2. Sprawdźmy, czy istnieje granica dla tego punktu:

 =  = 5, więc istnieje granica funkcji w punkcie 2 równa 5.

Kolejnym krokiem jest określenie f() = f(2):
f(2) =
, zatem funkcja f jest ciągła w punkcie 2.

Ad. b) Funkcja f jest określona dla punktu x0 = 3. Analogicznie do przykładu a, sprawdzamy istnienie granicy dla tego punktu, ale mając tym razem na uwadze, że x0 = 3 „wypada” z dziedziny funkcji :

 = 0
  , więc nie istnieje granica funkcji w punkcie 3. To oznacza że funkcja f nie jest ciągła w punkcie 3.

Definicja 2
Niech funkcja f będzie określona w lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) otoczeniu punktu x0. Funkcja f jest lewostronnie (odpowiednio prawostronnie) ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica  (odpowiednio ) oraz prawdziwa jest równość  = f(x0) (odpowiednio  = f(x0)).

Twierdzenie 2
Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to w tym punkcie ciągłe też są funkcje  (przy dodatkowym założeniu, że g(x0)  0).

Twierdzenie 3
Jeżeli funkcja f określona w pewnym otoczeniu (x0) punktu x0 jest ciągła w punkcie x0 oraz f(x0) > 0 (odpowiednio f(x0) < 0), to istnieje takie otoczenie  punktu x0, że  oraz f(x) > 0 (odpowiednio f(x) < 0) dla każdej liczby x .

Zadania do zrobienia

1. Zbadaj ciągłość funkcji   w punkcie 1 , jeśli:

a)   .

b)  .

Odp. a)  jest ciągła

          b) jest ciągła

 2. Wykaż, że funkcja:

nie jest ciągła w punkcie 2.