Niech funkcja  będzie określona w przedziale (-5,5). W łatwy sposób jesteśmy w stanie wykazać słuszność twierdzenia, iż funkcja f jest ciągła w każdym punkcie należącym do podanego przedziału. Oznacza to, że funkcja f jest ciągła w przedziale (-5,5).

Jak już wykazaliśmy funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (-5,5). Nie jesteśmy jednak w stanie mówić o ciągłości funkcji f w punktach -5 oraz 5, jako że funkcja ta nie jest określona w otoczeniu tych punktów. Możemy natomiast wypowiedzieć się o ciągłości jednostronnej w tych punktach (odpowiednio prawostronnej dla punktu -5 oraz lewostronnej dla punktu 5).

Definicja 2
Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym , jeśli jest ciągła w przedziale (a, b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b.

W podobny sposób określamy ciągłość w innych przedziałach. Możemy wówczas powiedzieć, że funkcja jest ciągła w zbiorze będącym sumą kilku przedziałów liczbowych, wtedy, gdy jest ciągła w każdym z tych przedziałów. Przykładem takiej funkcji jest funkcja . Jest ona ciągła w każdym z przedziałów , zatem jest ciągła w całym zbiorze ,

Funkcję, która jest ciągła w całej swojej dziedzinie, nazywamy funkcją ciągłą.

Przykład 1
Nauczyciel zlecił swoim uczniom opracowanie pewnej liczby działów z zakresu matematyki. Za każde x stron płacił on uczniowi stałą cenę równą 3 dolarom, pod warunkiem że liczba ta była mniejsza bądź równa 50. Jeśli liczba ta przekraczała 50, wówczas uczeń wynagradzany był kwotą wyrażaną wzorem . Wyznacz wartość parametru a tak, aby wynagrodzenie ucznia zmieniało się w sposób ciągły.

Jesteśmy w stanie zdefiniować funkcję, opisującą wynagrodzenie przyznawane uczniowi przez nauczyciela jako:

Obliczmy granicę lewostronną funkcji w(x) w punkcie x = 50:

Aby wynagrodzenie ucznia zmieniało się w sposób ciągły granica lewostronna w punkcie x = 50 musi być równa granicy prawostronnej w tym punkcie:

=

2500a+7000=22500
2500a=15500
a =

Twierdzenie 2 (Darboux)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz , natomiast A jest dowolną liczbą pomiędzy liczbami f(a) oraz f(b), to istnieje taka liczba c, , dla której f(c) = A.

Z twierdzenia 2 bezpośrednio wynika wniosek, mający zastosowanie dla przybliżonego rozwiązywania równań:

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz  , to istnieje taka liczba c, c(a, b), dla której f(c) = 0.

Przykład 2
Rozważmy funkcję . Wiemy, że ciągły wielomian stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. Nie jesteśmy jednak w stanie odnaleźć miejsc zerowych tej funkcji w konwencjonalny sposób (np. przez wzór skróconego mnożenia lub wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias). Jesteśmy jednak w stanie oszacować przybliżoną wartość x0 korzystając z twierdzenia 2 (Darboux), oraz wcześniej przytoczonego wniosku, wynikającego z tego twierdzenia.

Zawęźmy zbiór poszukiwanych liczb do przedziału  (czyli począwszy od takich liczb, dla których łatwo będzie nam wyliczyć wartość funkcji f(x)):





Określmy znak iloczynu wartości funkcji dla następujących po sobie całkowitych zmiennych x w przedziale :

Widzimy, że tylko w przedziale  funkcja zmienia swój znak, a to znaczy że przechodzi przez oś OX dokładnie w tym przedziale. Wiemy więc, że x0. W ten sposób jesteśmy w stanie oszacować wartość x0 jako np. .

Twierdzenie 3 (Weierstrassa)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym , to przyjmuje w tym przedziale wartość największą M i najmniejszą m, to znaczy istnieją takie liczby x1, x2 należące do przedziału , dla których f(x1) = m i f(x2) = M.

Zadania do zrobienia