Wyróżniamy trzy rodzaje asymptot:

I.    Asymptota pionowa

II.    Asymptota pozioma

III.    Asymptota ukośna

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w prawostronnym (odpowiednio lewostronnym) sąsiedztwie punktu x0. Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową prawostronną (odpowiednio asymptotą pionową lewostronną) wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:
                  lub                    
                 odpowiednio                   lub                    

Jeżeli prosta o równaniu  jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną wykresu funkcji f, to nazywamy ją asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

Przykład 1
Wyznacz asymptotę pionową wykresu funkcji .

Zbadajmy istnienie asymptot pionowych wykresu funkcji . Dziedziną funkcji f jest zbiór . Asymptoty wykresu mogą mieć postać , gdzie  jest miejscem zerowym mianownika funkcji f(x). Zbadajmy więc czy granica funkcji f jest niewłaściwa dla punktów  (warunek konieczny istnienia asymptoty pionowej):

Wniosek: Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową wykresu funkcji f.

Wniosek: Prosta o równaniu x nie jest asymptotą pionową wykresu funkcji f.

Definicja 2
Niech funkcja f będzie określona w przedziale , (odpowiednio ), . Prosta o równaniu y = ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio asymptotą ukośna lewostronną) wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:
                      (odpowiednio ).

Jeśli prosta y = ax+b jest jednocześnie asymptotą ukośną prawostronną i lewostronną wykresu funkcji f, to nazywamy ją asymptotą ukośną wykresu tej funkcji.

Definicja 2 bezpośrednio umożliwi nam zweryfikowanie czy prosta o danym równaniu jest asymptotą ukośną wykresu danej funkcji. Twierdzenie 1 powie nam, w jaki sposób wyznaczyć równanie takiej asymptoty.

Twierdzenie 1
Prosta o równaniu y = ax+b jest asymptotą ukośna prawostronną wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją (właściwe) granice  i  oraz  i .

Twierdzenie 2
Prosta o równaniu y = ax+b jest asymptotą ukośna lewostronną wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją (właściwe) granice   i   oraz  i.

Przykład 2

Wyznacz asymptotę ukośną wykresu funkcji .

Na podstawie twierdzeń odpowiednio: twierdzenia 1 oraz twierdzenia 2 wyliczamy asymptotę ukośną wykresu funkcji f:
Na początek ustalmy dziedzinę funkcji f(x). Łatwo zauważyć, że jest nią zbiór . Zacznijmy od zbadania istnienia asymptoty ukośnej z prawej strony:

Prosta o równaniu y = x+5 jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji f. Sprawdźmy, czy istnieje asymptota ukośna lewostronna tej funkcji:

Prosta o równaniu y = x+5 jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji f. Na tym etapie możemy wywnioskować, że: prosta o równaniu y = x+5 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f.

Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma. Przyjmujemy, że prosta o równaniu y = b jest:

- asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f tylko wtedy, gdy:
, czyli
- asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f tylko wtedy, gdy:
, czyli

Jeśli prosta jest jednocześnie asymptotą poziomą prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą.

Przykład 3
Wyznacz asymptotę poziomą wykresu funkcji .

Dziedziną funkcji f(x) jest zbiór . Zacznijmy od zbadania istnienia asymptoty ukośnej z prawej strony:

Oraz z lewej:

Wniosek: prosta o równaniu y = 0 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f.

Zadania o zrobienia