Pochodna funkcji w punkcie

Rozważmy następującą sytuację:

Kotka Basia ruszyła w pościg za myszą. Załóżmy, że jej odległość s(t) od miejsca startu (w metrach) opisuje następujący wzór: , gdzie t. Rozważmy jej średnią prędkość między czwartą a piątą sekundą ruchu. W tym celu korzystamy ze wzoru: , czyli wyznaczamy v(5)-v(4) i dzielimy go przez przyrost czasu:

Wyznaczona prędkość nie jest jednak prędkością Basi w czwartej sekundzie. Jeśli postanowimy skrócić przedział czasu, np. do 0,5 sekundy, to otrzymamy zupełnie inną wartość:

Ustalmy prędkości średnie dla jeszcze mniejszych przedziałów czasowych (odpowiednio 0,1s i 0,01s):

Możemy zauważyć, że skracając przedziały czasu, otrzymana prędkość jest coraz bliższa 8. Jesteśmy w stanie wykazać że ta graniczna prędkość jest rzeczywiście równa 8. Skorzystamy z wyrażenia:

I.

Oznaczmy x-4 = h, to x = h+4 4, wtedy i tylko wtedy, gdy 0. Zatem wyrażenie można zapisać równoważnie:

II.
== 8.

Otrzymaliśmy, że w czwartej sekundzie ruchu Basia osiągnęła prędkość 8. Prędkość tę nazywamy prędkością chwilową.

Sytuację ogólną określimy w następujący sposób:
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b), x0 (a, b). Liczba h jest liczbą rzeczywistą różną od zera, a . Średnią szybkość zmiany wartości funkcji f w przedziale o końcach x0 i x0+h w takim przypadku definiujemy jako:

Natomiast granicę (pod warunkiem, że istnieje), nazywamy „chwilową szybkością zmiany wartości funkcji f w punkcie Zależy ona od funkcji f i punktu , ale nie zależy od h. Definiujemy ją jako:

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0), natomiast h będzie liczbą różną od 0, dla której x0+h należy do otoczenia U(x0). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0, odpowiadającym przyrostowi h argumentu, nazywamy liczbę

Definicja 2
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0), natomiast h będzie liczbą różną od 0, dla której x0+h należy do otoczenia U(x0). Pochodną funkcji w punkcie x0 będziemy nazywać granicę (o ile istnieje właściwa)

i oznaczać f’(x0), a o funkcji f powiemy, że ma pochodną w punkcie x0 lub że jest różniczkowalna w punkcie x0.

Pochodna funkcji f jest zatem niczym innym jak:

Gdzie spotkać się można również z następującym zapisem:
lub

Definicja 3
Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym otoczeniu

(x0), h będzie liczbą dodatnią, dla której x0+h należy do otoczenia

(x0). Pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x0 będziemy nazywać granicę (o ile istnieje właściwa)

i oznaczać

W ten sam sposób możemy zdefiniować pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x0, która będziemy oznaczać.

Twierdzenie 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0. Funkcja f ma pochodną w punkcie x0 równą p (p

) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne jednostronne

i zachodzi równość:

Przykład 1
Oblicz pochodną funkcji f(x) w punkcie x0:
a) f(x) =, x0 = 3
b) , x0 = 5

Ad. a) , zatem funkcja f jest określona w otoczeniu punktu x0 = 3. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

f(h+3) =-5(h+3) = (h+3)[-5] = (h+3)(+6h+4) =
f(3) = = 12
= 22

Więc f’(3)=22.

Ad. b) , zatem funkcja f jest określona w otoczeniu punktu x0 = 5. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0, taką że .

==

Więc f’(5)=.

Twierdzenie 2
Jeśli funkcja f, określona w pewnym otoczeniu punktu x0, ma pochodna w tym punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Przykład 2
Wyznacz parametr a oraz parametr b tak, aby funkcja miała pochodną w punkcie 1.

Aby funkcja miała pochodną w punkcie 1, musi ona być ciągła w tym punkcie, zatem:

Obliczmy pochodne jednostronne:

Skorzystajmy z warunku ciągłości ():

a = 3
b+3 = 3b+1
b = 1

Wniosek: Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 1 dla a = 3 i b = 1.

Zadania do zrobienia

1. Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji w punkcie

a) ,

b) ,

c) ,

d) , .

Odp. a)

2. Zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji w punkcie

Odp. Istnieje.

Baza wiedzy