Rozważmy następującą sytuację:
Kotka Basia ruszyła w pościg za myszą. Załóżmy, że jej
odległość s(t) od miejsca startu (w metrach) opisuje następujący wzór:
, gdzie t
. Rozważmy jej średnią
prędkość między czwartą a piątą sekundą ruchu. W tym celu korzystamy ze wzoru:
, czyli wyznaczamy v(5)-v(4)
i dzielimy go przez przyrost czasu:
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAOIAAAAkCAMAAACjfxZMAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAK5QTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OgBmOjoAOjo6OjpmOjqQOmaQOma2OpC2OpDbZgAAZgA6ZjoAZjo6ZjpmZmZmZma2ZpDbZrbbZrb/kDoAkDo6kDpmkDqQkGY6kJC2kLbbkNvbkNv/tmYAtmY6tmZmtmaQtpBmtrZmtraQttvbttv/tv//25A625Bm27Zm2/+22////7Zm/7aQ/9uQ/9u2//+2///bXLGiggAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAADzUlEQVRoQ+1ZC3ObMAw2aVa6rWu2dN0jYa8ukL2awMoI/v9/bJJsjCE2xiHs0ut8Ry53+Sz0SbIkK4z9X4/LAvz77F4y3qpvFhP4YE/HivzDQirz7Z4Vl5suzWosoBzY02HItq9AmW0A6wk4M8cP6yIswgllwfIIhQVLxtKQZJoWT8JzTdSo9iivV0pn+MIjUM22BBb8F5LmFiz/BD+iEfLJikeCSHsV4UvBXYoalaJwhXALrlg6yvRS6Tb+8YeA27E8AjEx0AOaBknlXBpSiRqFYxYGwUzooVOsyWpvbWDZdim5GrG0LT/bsHIONIvQFBVqoxLlpMijySoLp5sUHidYAMrrJcuAnvBEBodnSvY2HbAmNp9VIPvBRcORq5S/dLV4dHVD9q1FdWmdB8Fktf4VvV2Uc3yWLIbE4eZZzsVpUMHGY7B8RVGmDJSN5tCx5ZsNUPz9zmIOenNxAdt0igZ5WbDURHVSJMUwKOiRycNNke1eB1gFRaAqvbRTqcnQsZR8gwC3WQM1xrNqD1QiD8dVE+WmWDzdMHyq5NGDImM7THd1sJHpNcoNGU2s3FSbp/k+EZ2UTfFQ7i0iTxnJVaVoq5CB9qRHJg83RdCS04lBv/NowTiZ3lgIGthaL2uBkd7dWotGPL1jmci13YVYo4gnCh6wTAobtz3OYvEMEswdWgctmkB6vbKW8wYWj1pIcWrTTvqHsUQK3TM4h19EdpOiOl1CXsTIoOhIJu/Jp24vKoRPU+aD9VDBATUFuxdF5tNa+2CHclQ93nCKQ1UZab/q8Ywpy8+LI6k4UKzWM9i8mEIn/y963IFMrNu1mmuh+Oc2Pudfihf1XabZYBxTs6NIbglRPZ6qi02NKVCxjuT2a4PoUQYvg6n8ZRqEUM8IPR6VTiwaDamiaFBdXm9YBj3PA1xVj6cotjggRexa0iVf/6woHiWcjMY6iuSWkEaPZ2gCkWJx8TXBMMXO9SEuvcezUCzn01vqkDwpwozqJFbd4znrogdFNaMycbTf8PtaZHdjmnH02O3qbnwodkzfhpfYNDTdq3owdHkRRgBBx8Cp8YYORw0fI6UL49XxCBT7iKgwHRT7j5HsLxxOkX+GSYsYdx3Yo9Yzqrae/cZIDnMOpwg+4Ik40AdShJ1yRgWNg+wmxHiqnkj5REULO5xifoZ3+IEUxeysvXqOkUb3IsvC6n+lw71opoi695ixjEZRzjoxysRMq98cdV+fekZl0vUIFI2zf4/Ih0uFGgt5bNOg9YzKsL/PGKnztflzON2XBxZ/IRn+6KLR76NZfwFIvHor20PCCQAAAABJRU5ErkJggg==)
Wyznaczona prędkość nie jest jednak prędkością Basi w
czwartej sekundzie. Jeśli postanowimy skrócić przedział czasu, np. do 0,5
sekundy, to otrzymamy zupełnie inną wartość:
![](data:image/png;base64,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)
Ustalmy prędkości średnie dla jeszcze mniejszych przedziałów
czasowych (odpowiednio 0,1s i 0,01s):
![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,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)
Możemy zauważyć, że skracając przedziały czasu, otrzymana
prędkość jest coraz bliższa 8
. Jesteśmy w stanie wykazać
że ta graniczna prędkość jest rzeczywiście równa 8
. Skorzystamy z wyrażenia:
I. ![](data:image/png;base64,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)
Oznaczmy x-4 = h, to x = h+4
4, wtedy i tylko wtedy, gdy
0. Zatem wyrażenie
można zapisać równoważnie:
II. ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAHsAAAAkCAMAAACewbVvAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAJlQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OgBmOjpmOjqQOmaQOma2OpDbZgAAZgA6ZgBmZjpmZjqQZmZmZma2ZpDbZrbbZrb/kDoAkDo6kDpmkGY6kNvbkNv/tmYAtmY6tmZmtmaQtpBmtpCQtrZmtrbbttvbttv/tv//25A625Bm27Zm2/+22////7Zm/9uQ//+2///bPcCEbQAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAACfElEQVRYR+1X23KbMBAFOzVtWttpm8Z2khq7twBOA+L/P657kYSEhaQ48FbNCGdGu+fsTatNkvxf00ag/bl8kQyV/itIaWgNy4bw2vtNp9xcl0FWEiAtsZ7tB8Wrd+BRAK9asTrJJjV9w4u1LGlxYxrSZGE8pSFl2902TAweM0+1MIQt7vbhN3F78aTpSjbJZRjcFrSPaToD66RWvjmkOlAWd7VVIi48CZOz6VqWQz+04LQ9gMusJW5ui3quKsTkrpfKPCeehGE/O1l/wut5QWaxVvN+LynaXcqLi098KeHg7zddEr1zCUMoZ7KDjj9ndA2ZG9Pdpdzwu2JDMDhuXxiGomfI+mOOxYO0HHOwwKglu869MZcw2i5VG2bp9t2vkQy5SVist5Dy7z9kwt3csp4sJAWjNZjbf8dOWZpSzEmr+VCCvG4v/ftNIXfiaRjZW5rMk57z9KuONHwl+MRfus6e2mT66rjRLa1hA0I92vmWkL3d3T1HH+UtcRttdctQYEc+z7dQJil+Zvvn7Ko8wR6ZYgiOahY/x6fd7UascUc9MiPY13zExxc/Yr3ijdbIxjnhj+yW3C7xEuOOfdjf7jikG1omfrDH0vb1u7cTdggQ4GMBGT4W9GpQ316dhuejMbmhuqnEoV9jz8YyO8zuxmSYGss7Sk5Nfll95r3hF16a5estvaw+xdduavsFL+X9/pLeYo2S0aY3nx5TNWDCQIUX3D/AupDtUTKau5oX9SKpZQNbYId7fQC7UTKaFwWhrVBnwSX9jp0WOh57lIzlF5/L9uHpD4tDviHZkf+wmAz2KBnLDTEWO/PRrC+o894oGcs9ilxvlBwFc1qQf+wuShhUkOCKAAAAAElFTkSuQmCC)
=
= 8
.
Otrzymaliśmy, że w czwartej sekundzie ruchu Basia osiągnęła
prędkość 8
. Prędkość tę nazywamy prędkością
chwilową.
Sytuację ogólną określimy w następujący sposób:
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b), x0
(a, b). Liczba h jest liczbą rzeczywistą różną
od zera, a
. Średnią szybkość zmiany
wartości funkcji f w przedziale o końcach x0 i x0+h w takim przypadku
definiujemy jako:
![](data:image/png;base64,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)
Natomiast granicę (pod warunkiem, że istnieje), nazywamy „chwilową
szybkością zmiany wartości funkcji f w punkcie
Zależy ona od funkcji f i
punktu
, ale nie zależy od h.
Definiujemy ją jako:
![](data:image/png;base64,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)
Definicja 1Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0), natomiast
h będzie liczbą różną od 0, dla której x0+h należy do otoczenia U(x0). Ilorazem
różnicowym funkcji f w punkcie x0, odpowiadającym przyrostowi h argumentu,
nazywamy liczbę
![](data:image/png;base64,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)
.
Definicja 2Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0),
natomiast h będzie liczbą różną od 0, dla której x0+h należy do otoczenia U(x0).
Pochodną funkcji w punkcie x0 będziemy nazywać granicę (o ile istnieje
właściwa)
![](data:image/png;base64,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)
i oznaczać f’(x0), a o funkcji f powiemy, że ma pochodną w
punkcie x0 lub że jest różniczkowalna w punkcie x0.
Pochodna funkcji f jest zatem niczym innym jak:
![](data:image/png;base64,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)
Gdzie spotkać się można również z następującym zapisem:
lub ![](data:image/png;base64,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)
Definicja 3Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym
otoczeniu
(x0), h będzie liczbą
dodatnią, dla której x0+h należy do otoczenia
(x0). Pochodną prawostronną
funkcji f w punkcie x0 będziemy nazywać granicę (o ile istnieje właściwa)
i oznaczać
.
W ten sam sposób możemy zdefiniować pochodną lewostronną
funkcji f w punkcie x0, która będziemy oznaczać
.
Twierdzenie 1Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0.
Funkcja f ma pochodną w punkcie x0 równą p (p
) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją pochodne jednostronne
i
i zachodzi równość:
.
Przykład 1
Oblicz pochodną funkcji f(x) w punkcie x0:
a) f(x) =
, x0 = 3
b)
, x0 = 5
Ad. a)
, zatem funkcja f jest
określona w otoczeniu punktu x0 = 3. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą
różną od 0.
f(h+3) =
-5(h+3) = (h+3)[
-5] = (h+3)(
+6h+4) =![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAIcAAAATCAMAAACNzu5tAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAJlQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADo6ADpmADqQAGa2OgAAOgA6OgBmOjo6OjpmOjqQOmaQOma2OpDbZgAAZgA6Zjo6ZjqQZmZmZma2ZpBmZpC2ZpDbZrbbZrb/kDoAkDo6kDpmkGY6kLb/kNvbkNv/tmYAtmY6tmaQttv/tv//25A625Bm27Zm27aQ2////7Zm/9uQ/9u2/9vb//+2///bmwj46gAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAABqElEQVRIS+2U23aCMBBFE61Krwq9I9a2UIXKpcn/f1xnEgaSENeib32AB8cF+yQnZwYYm65/n4DccX5XjrH5HYwExyw2YMRDKaLPEdL6tmzC7Qjwb4gIZ7T76cmXh9xzvjgwZoDy7ejZ5CcL+ALWomoIBnRzj5sSqR5XS707yF47vo9GJqtSpsgQyFjRxWFEKJMNk8mypGoK1PpG2kUwh5P0JD7PV7S7EXcvqi/BufrpwOLd41ffynF9qv3Kjo8irlquV7A0zjgcF9ouE885lQWBA9GCmEZFoDtSeRuuqiTQFi3U8EHtiB4PeFdmnK895xThumSnYAvraLAOOOdnfCi/qsdQSdAu6vdBChV533nUyAQ2wksPcBXwi2fwMQAdDpW7WG2qqyEYoJQHKXTX7UYOQgQvkIMXtA4ps422oasj8OVBCqBTnPLB58DuO7wzZ0CLa22wtjor+3yQQndSRB9fzgfBEjV7mCU/aHIVjlcGXdbVFdg+VM9JgU28ghFNuk8ZDaopSmcvMPx+0OBEiDM1P1J1BQZaXQN5A061ons7pj9TAp4EfgEjIjojOjAzPgAAAABJRU5ErkJggg==)
f(3) =
= 12
= 22
Więc f’(3)=22.
Ad. b)
, zatem funkcja f jest
określona w otoczeniu punktu x0 = 5. Niech h będzie dowolną liczbą rzeczywistą
różną od 0, taką że
.
![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,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)
=
=![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAkAAAAbCAMAAACZUVWyAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAFRQTFRFAAAAAAAAAAA6ADqQOjqQOmaQOma2OpDbZgAAZgA6ZjqQZma2ZpDbZrb/kDoAkDo6kGYAkNv/tmYAtmY6tmZmtv//27aQ2////9uQ/9u2//+2///bR7FisQAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAAYUlEQVQoU42OSRKAIAwEE9xwA3eU/P+fQjDlwQPm1JXpVAYgOwuimtnadpFfCmnhnjVNTSTfOSGDWEuafRQF5PmlfiSyiBV/Cw18mzoDHH1q4LUa5ObSY8SzdGSYaA1N4QZ5vwOAkTb41wAAAABJRU5ErkJggg==)
Więc f’(5)=
.
Twierdzenie 2
Jeśli funkcja f, określona w pewnym otoczeniu punktu x0, ma
pochodna w tym punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
Przykład 2
Wyznacz parametr a oraz parametr b tak, aby funkcja
miała pochodną w punkcie 1.
Aby funkcja miała pochodną w punkcie 1, musi ona być ciągła
w tym punkcie, zatem:
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAANUAAAAYCAMAAABa6EjbAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAMBQTFRFAAAAAAAAAAA6AABmADpmADqQAGa2OgAAOgA6OgBmOjpmOjqQOmZmOmaQOma2OpDbZgAAZgA6ZjoAZjo6ZjpmZmZmZmaQZpC2ZpDbZrbbZrb/kDoAkDo6kDpmkGY6kGaQkJA6kJBmkJxmkLbbkNvbkNv/tmYAtmY6tmZmtmaQtpBmtpCQtraQtrbbtrb/ttuQttvbttv/tv//25A625Bm27Zm27aQ29uQ29u22//b2////7Zm/9uQ/9u2//+2///b1zvE3AAAAAF0Uk5TAEDm2GYAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAAAZdEVYdFNvZnR3YXJlAE1pY3Jvc29mdCBPZmZpY2V/7TVxAAAC5UlEQVRYR+2XiXKbMBCGBXFK0tY1TuMmNr1rsNv0MsQ9DIH3f6vurm4VYYqb6SRTzQg8oP1W++9Kwoz9b/dNgebDk52IqVC//jRIA7LfdLib/Wwxonk+12Orh3lvQ3OgBdlPGOpGkqvoyDvP6iw42rBiYs6iPJZ5+31uHSwb4g2rjsOUXna58VgrW2VftoVWx/P6PK+n3I/MXLLwS01zaWM5EJtgvpTRNF1utLnFNZUoHvhmWVBaXNUyK3W2rZfVKb05NUXocuOJyvSeLViTBHgJ0200yq+hoxk8DAKIIKOoq+h4V5/hTx5re/OxBIRBSY9eLwwYYcyosvkqIAdeN4LBJ2DlStmK5/hy/TWZzesYO68xUQQkWvPqx3T5gqLVNQJRYxMrQfpoZXHlq2jOyjA1YO7U6ulsU51gyfvcCIZQ1YxK24KnR6AMXep4wrtYSOIuSqFJRnvXsZ/FpUkg1zRbBeMVobXBiLiqnprVDNeUaVvINFUVXqrTnLrkiVXPK1CM6SqNLhZBKAm8+K0FaAiOz3muPBVoMNwK1LawbFAYuiCHuh2GCLJ6KtaTjNJRGX34WQRByXgiFMytQCTweDxuNMM1Je9CC9BpvQFX6w3DKoHeJJNrFAvuhuHNs+8ny/ewsDq2XD+LVzXofPNmulznCsarQOeqji/ZNsK4fW4UwzUFvaQtWoe0/S1IRVJyFV6SL7Fp0CmcjXIa1Hk8+lkgIkq0CsY/YafVMHdq1cXLYPQOn3qPAsHgluYeqG3Fu9abOkzv4heTL7BGFjbk865/3W5hQfPUxmP/YduVYvVOoXqNvq1BVzlr1h9P8xJPD/8Xbx/3EtVn7C2MKcK0pC0Hs3MOacKNc2AzWIeiBs5A7iCfi8cX31LKDjQ8AQdHVRPrrY2qIvuT6rDp9rYu8VPp7+SKada/zdXVl9l0+UlEBYvhkFyZrANRvXPSPjAZ7zL9xQ1jMv7nY0BrXNZw1ADv99/kF/Xqfb7NyMn9AAAAAElFTkSuQmCC)
![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,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)
Obliczmy pochodne jednostronne:
![](data:image/png;base64,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)
=![](data:image/png;base64,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)
Skorzystajmy z warunku ciągłości (
):
![](data:image/png;base64,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)
a = 3
b+3 = 3b+1
b = 1
Wniosek: Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 1 dla a = 3
i b = 1.
Zadania do zrobienia
1. Korzystając z definicji, oblicz
pochodną funkcji
w
punkcie
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
.
Odp. a)
b)
c)
d)
2.
Zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji
w
punkcie
Odp. Istnieje.