1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Funkcja pochodna

Rozważmy funkcję , gdzie . Zweryfikujmy czy podana funkcja w każdym punkcie swojej dziedziny ma pochodną.
Dla dowolnej liczby x0 z przedziału  istnieje takie otoczeniu U(x0), że U(x0). Niech h będzie liczbą rzeczywistą, dla której (x0+h) U(x0):








Więc f’(x) = , gdzie .

Wniosek: Dla dowolnej liczby x0 z przedziału  istnieje pochodna funkcji funkcję  i ma ona wzór f’(x) = , dziedziną której jest również przedział .

Dziedzina funkcji  i dziedzina funkcji pochodnej  nie muszą być równe, ale zawsze zachodzi zależność  .
Definicja 1
Niech f będzie dowolną funkcją określoną w zbiorze . Funkcją pochodną funkcji f (lub pochodną funkcji f) nazywamy funkcję, która każdej liczbie x0 z dziedziny  przyporządkowuje liczbę f’(x0) – o ile f’(x0) istnieje – i oznaczamy ją f’. Zbiór tych liczb x0, w których funkcja f jest różniczkowalna, stanowi dziedzinę funkcji f’, która oznaczamy .


Pochodną funkcji oznaczamy również w następujący sposób:  lub .

Przy okazji pochodnych należy zaznaczyć że pochodna funkcji w punkcie nie jest tym samym co pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie jest niczym innym jak liczbą (granicą ilorazu różnicowego), natomiast pochodna funkcji jest to funkcja, która argumentom x przypisuje liczbę równą pochodnej funkcji w punkcie x.

Funkcja

Pochodna funkcji

Dziedzina pochodnej

f(x) = c

f’(x) = 0

 (c – dowolna liczba rzeczywista, f – funkcja stała)

f(x) = ax+b

f’(x) = a

 (a, b – dowolne liczby rzeczywiste)

f(x) = a+bx+c

f’(x) = 2ax+b

(a, b, c – dowolne liczby rzeczywiste)

f(x) =

f’(x) =

 (n – liczba naturalna większa od 1)

f(x) =

f’(x) = k

 (k – liczba całkowita ujemna)

f

f’(x) = a

 (a – dowolna liczba rzeczywista)

f(x) =

f’(x) =


Twierdzenie 1
Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne w zbiorze D, to dla dowolnej liczby x:
I.    [’ =                                 (wzór na pochodną sumy funkcji)
II.    [’ =                                 (wzór na pochodną różnicy funkcji)
III.    [    (wzór na pochodną iloczynu funkcji)
IV.                     gdzie c – dowolna liczba rzeczywista
V.           przy dodatkowym założeniu, że g(x) w zbiorze D (wzór na pochodną ilorazu funkcji).


Przykład 1
Oblicz pochodną funkcji:
a)    
b)    
c)    
d)    

Na mocy twierdzenia 1 jesteśmy w łatwy sposób policzyć każdą z wymienionych pochodnych:

Ad. a)


 

Ad. b)



Ad. c)


[’ =  =  =

Ad. d)


 =    = 


Zadania do zrobienia



1. Wyznacz pochodną funkcji:

a)

b)

c)

d)

Odp. a)

          b)

          c)

         d) .

 

2. Wyznacz pochodną funkcji:

a)

b)

c)

Odp. a)

         b)

          c)

 

3. Zbadaj, czy istnieją takie wartości parametrów ,   , dla których funkcja  jest różniczkowana w zbiorze R. Wyznacz .

.

 

Odp. .