Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu  oraz niech będzie różniczkowalna w punkcie x0, a h niech będzie liczbą rzeczywistą, dla której . Spójrzmy na punkty P oraz Q. Poprowadźmy przez wspomniane punkty prostą:

Taką prostą nazywamy sieczną wykresu funkcji f, przechodzącą przez punkty P i Q.

Zgodnie z rysunkiem oznaczmy miarę kąta QPR jako . Wyznaczmy jego tangens:

Zauważamy, że iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0, odpowiadający zmianie argumentu h, jest niczym innym jak współczynnikiem kierunkowym podanej siecznej.

Ta wiedza w łatwy sposób pozwala nam wyprowadzić wzór stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.

Niech  będzie kątem nachylenia do osi OX stycznej do wykresu funkcji f. Na podstawie wcześniejszych rozważań wiemy, że:

Równanie szukanej prostej w postaci kierunkowej to y = ax+b. Jako, że punkt P do niej należy, to:

Zatem równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f to:
 
 

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i różniczkowalna w tym punkcie. Styczną do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x0)) nazywamy prostą opisaną równaniem:
 

Przykład 1
Oblicz równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie P(-1,y0).

Policzmy zmienną y-ową punktu P:

y0 =

Zgodnie z definicją 1 obliczmy współczynnik kierunkowy:
 

Informacja o wartości współczynnika kierunkowego pozwala od razu wyznaczyć wzór szukanej stycznej:

Zadania o zrobienia

1. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie .

Odp. .

2. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie . Następnie wyznacz współrzędne drugiego punktu wspólnego tej stycznej z wykresem funkcji .

Odp.

3. Styczna do wykresu funkcji , w punkcie  przecina wykres w punkcie , różnym od punktu .

a) Wyznacz współrzędne punktu .

b) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji  w punkcie .

 Odp. a)

           b)