Przenalizujmy wykres następującej funkcji:

W dziedzinie funkcji f wyróżniono trzy punkty, kolejno x1, x2 oraz x3. Jeśli weźmiemy pod uwagę dostatecznie małe sąsiedztwo S to otrzymamy, że: . Oznacza to tyle, że funkcja w punkcie x1 osiąga najmniejszą wartość lokalną. Słowo „lokalne” mówi nam, że rozpatrujemy funkcję f w niewielkim otoczeniu tego punktu. Nie możemy mówić o ekstremum globalnym, gdyż nie znamy wzoru rozpatrywanej funkcji i nie wiemy czy funkcja w którymś swoim punkcie nie osiąga mniejszej wartości niż f(x1). Na przykładzie punktu x3 od razu widzimy, że rozpatrywany punkt nie jest minimum globalnym, gdyż istnieje wartość mniejsza w rozpatrywanej dziedzinie (), z kolei w punkcie x2 funkcja f przyjmuje lokalnie największą wartość.

Definicja 1
Niech funkcja f będzie określona w przedziale (a, b).
a)    Funkcja f ma w punkcie x0, x0  (a, b), minimum lokalne właściwe (które jest równe f(x0)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x0) zawarte w przedziale (a, b), że
 f(x) > f(x0)
b)    Funkcja f ma w punkcie x0, x0  (a, b), maksimum lokalne właściwe (które jest równe f(x0)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x0) zawarte w przedziale (a, b), że
 f(x) < f(x0)

Definicja 2
Niech funkcja f będzie określona w przedziale (a, b).
a)    Funkcja f ma w punkcie x0, x0  (a, b), minimum lokalne (które jest równe f(x0)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U(x0) zawarte w przedziale (a, b), że
f(x)  f(x0)
b)    Funkcja f ma w punkcie x0, x0  (a, b), maksimum lokalne (które jest równe f(x0)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U(x0) zawarte w przedziale (a, b), że
f(x)  f(x0)

UWAGA: Każde minimum lokalne właściwe jest jednocześnie minimum lokalnym, a każde maksimum lokalne właściwe jest jednocześnie maksimum lokalnym.

Funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne (właściwe), jeśli osiąga w tym punkcie minimum lokalne (właściwe) lub maksimum lokalne (właściwe).

UWAGA: Rozważmy funkcję f(x) = . Jej pochodna jest równa f’(x) =  i przyjmuje wartość zerową dla punktu 0. Nie osiąga w tym punkcie jednak ekstremum, co możemy stwierdzić, rysując jej wykres (pochodna „odbija się” od wykresu, a więc nie zmienia swojego znaku – dzieje się tak zawsze, gdy zmienna x jest w stopniu parzystym). Taki punkt nazywamy punktem przegięcia funkcji.

Definicja 3
Niech funkcja f będzie określona w przedziale (a, b). Punkt x0, x0  (a, b), nazywamy punktem krytycznym wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x0) = 0 lub f’(x0) nie istnieje.

Twierdzenie 2 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji)
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz różniczkowalna w sąsiedztwie S(x0); ponadto niech x0 będzie punktem krytycznym tej funkcji.
I.    Jeśli f’(x) > 0 dla  i f’(x) < 0 dla , to funkcja f ma maksimum lokalne właściwe w punkcie x0.
II.    Jeśli f’(x) < 0 dla  i f’(x) > 0 dla , to funkcja f ma minimum lokalne właściwe w punkcie x0.
III.    Jeśli f’(x) > 0 dla  lub f’(x) < 0 dla , to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x0.

Wniosek: Jeśli chcemy wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji, musimy:
I.    Wyznaczyć dziedzinę funkcji f, jej pochodną oraz dziedzinę pochodnej.
II.    Wyznaczyć punkty krytyczne funkcji f.
III.    Zbadać, dla jakich argumentów funkcja pochodna jest dodatnia, a dla jakich ujemna.
IV.    W punktach krytycznych, w których pochodna
a)    Istnieje – badamy, czy zmienia ona znak. Jeśli tak, to określamy rodzaj ekstremum (minimum czy maksimum).
b)    Nie istnieje – badamy, czy funkcja jest ciągła i czy pochodna zmienia tam znak. Jeśli tak, to określamy rodzaj ekstremum.

Przykład 1
Wyznacz dla jakich argumentów funkcja f(x) ma ekstrema. Określ rodzaj tych ekstremów.

a) Określamy dziedzinę funkcji f(x): .
b) Wyznaczamy wzór pochodnej: f’(x).
c) Określamy dziedzinę pochodnej f’(x): .

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, przyrównując pochodną do zera:

Badamy dla jakich wartości pochodna jest dodatnia i dla jakich ujemna. Dla ułatwienia sporządzamy wykres (UWAGA: Poglądowy wykres pochodnej nie musi odzwierciedlać jej rzeczywistego wyglądu. Wystarczy zaznaczyć dla jakich argumentów pochodna „przechodzi” przez oś OX, a dla jakich się od niej „odbija”):

Określamy, dla jakich punktów krytycznych funkcja ma ekstrema i ustalamy ich rodzaj („jeśli z plusa na minus – maksimum, jeśli z minusa na plus – minimum”):
Dla x funkcja osiąga punkt przegięcia (pochodna odbija się od osi)
Dla x funkcja osiąga ekstremum (pochodna przechodzi przez oś):
 (maksimum lokalne)
 (minimum lokalne)

Zadania do zrobienia