Wniosek II: Jeśli chcemy sprawdzić czy istnieje największa i najmniejsza wartość funkcji ciągłej f w przedziale otwartym (a, b), musimy:
I.    Wyznaczyć punkty krytyczne funkcji f w przedziale otwartym (a, b).
II.    Obliczyć wartość funkcji f w punktach krytycznych i granice funkcji na końcach przedziału:
 oraz
III.    Określić czy istnieje wartość największa i najmniejsza funkcji w przedziale (a, b).

 
Przykład 1
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale:
a)    
b)    

Ad. a)    W przedziale  funkcja f jest ciągła.
I.    Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, przyrównując pochodną do zera:

II.    Obliczamy wartość funkcji f w punktach krytycznych i na końcach przedziału :

III.    Określamy najmniejszą i największą spośród obliczonych wartości w przedziale:
 – największa wartość funkcji f w przedziale
 – najmniejsza wartość funkcji f w przedziale

Ad. b)    W przedziale  funkcja f jest ciągła.
I.    Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, przyrównując pochodną do zera:
x:    




  x

x:     



  x

II.    Obliczamy wartość funkcji f w punktach krytycznych i na końcach przedziału :

III.    Określamy najmniejszą i największą spośród obliczonych wartości w przedziale:
 – najmniejsza wartość funkcji f w przedziale
 – największa wartość funkcji f w przedziale

Przykład 2
Ustal, czy istnieje najmniejsza i największa wartość funkcji f(x) jeśli . Podaj jej zbiór wartości.

W przedziale  funkcja f jest ciągła.
I.    Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, przyrównując pochodną do zera:




  x

II.    Obliczamy wartość funkcji f w punktach krytycznych i granice funkcji na końcach przedziału :

III.    Określamy czy istnieje wartość największa i najmniejsza w przedziale (porównujemy ekstrema z wartościami granicznymi):                               i                                               

                 i                             

Wniosek: Liczba  jest największą wartością funkcji f w podanym przedziale, natomiast nie istnieje jej najmniejsza wartość, gdyż znajduje się ona na krańcu przedziału otwartego. Zbiór wartości to .

Zadania do zrobienia

1. Wyznacz największą  i najmniejszą  wartość funkcji  w podanym przedziale:

a)

b)

Odp. a)

         b)

 2. Wyznacz wartości w przedziale (o ile istnieją) funkcji : największą ) i najmniejszą  w podanym zbiorze.

a)  , 

b) ,  .

Odp. a)

          b)

3. Wyznacz zbiór wartości funkcji :

a) ,        x

b)

Odp. a)

         b)