Przykład 1
Zbadaj przebieg zmienności funkcji.
a)    
b)    

Ad. a)
I.    Wyznaczamy dziedzinę funkcji:
II.    Sprawdzamy czy funkcja jest parzysta lub nieparzysta:

Wniosek: Funkcja nie jest parzysta ani nie jest nieparzysta.

III.    Wyznaczamy punkty wspólne wykresu z osiami układu współrzędnych:

Wniosek: Punkt wspólny wykresu funkcji z osiami ma współrzędne (0, 0)
IV.    Obliczamy granice funkcji na końcach przedziału:

Funkcja f ma asymptotę pionową x = 5 i nie ma asymptoty poziomej.
Zbadajmy istnienie asymptoty ukośnej o równaniu y = ax+b:


 

Funkcja f ma asymptotę ukośną o równaniu y = x+5.

Wniosek:                 
Asymptota pionowa: x = 5
Asymptota pozioma: brak
Asymptota ukośna: y = x+5

V.    Wyznaczamy pochodną, jej dziedzinę i miejsca zerowe oraz przedziały, w których jest dodatnia i w których jest ujemna (a więc w których funkcja f maleje lub rośnie):

VI.    Budujemy tabelkę przebiegu zmienności funkcji:

VII.    Sporządzamy wykres funkcji:

Ad. b) Po prawej stronie znaku równości znajduje się suma S wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy z wyrazów jest równy , a iloraz . Z warunku na szereg geometryczny otrzymujemy:  , oraz .

Stopień zmiennej w mianowniku i liczniku jest taki sam zatem funkcja f to nic innego jak funkcja homograficzna. Zamiast postępowania wykorzystanego we wcześniejszym przykładzie potraktujemy tą funkcję jak każdą inną funkcję homograficzną, ale z ograniczoną dziedziną:

Wyznaczamy przykładowe punkty w taki sposób, aby wyrażenie  było liczbą całkowitą, a więc aby  było dzielnikiem liczby 3:
 

Rysujemy wykres funkcji:

Zadania do zrobienia

1. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji