Krócej:
Ciąg a_n jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r gdy a₁=a i a_n=a_n-1+r, jeśli n>1

Przykład 1.

Obliczamy:

_a2=a₁+3=4

_a3=a₂+3=7

_a4=a₃+3=10

Teraz zbadamy monotoniczność ciągu arytmetycznego.

Zauważ, że     a_n-a_n-1=r     zatem, jeśli:

r>0, to ciąg jest rosnący
r<0, to ciąg jest malejący
r=0, to ciąg jest stały

Przykład 1.

z drugiej zaś:
a₆-a₁=a₁+5r-a₁=5r,

więc
5r=7,5 /:5
r=1,5

Zatem:
a₃=a₁=+2r=2+3=5
a₄=a₁+3r=2+4,5=6,5
a₅=a₁+4r=2+6=8

Przykład 2.

Zgodnie z twierdzeniem 1. Otrzymujemy:
a₃=a₁+2r     a₇=a₁+6r      a₂=a₁+r     a₁₀=a₁+9r

Z warunków zadania wynika ,że

Zatem

      -2r=-2

        r=1

Zobaczmy jaka jest zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Wypiszmy wzory na trzy kolejne wyrazy takiego ciągu:

a_n-1=a₁+ (n-2)∙r
a_n=a₁+ (n-1) ∙r
a_n+1=a₁+n∙r

Jeśli zsumujemy pierwszy i ostatni z wypisanych wyrazów, to wówczas otrzymamy:
a_n-1+a_n+1=a₁+(n-2) ∙r +a₁+ n∙r= 2[a₁+(n-1) ∙r]=2∙n a

zatem (*)  a_n =

Pokazaliśmy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

Zadania do zrobienia

1. Wyznacz różnice r ciągu arytmetycznego, mając dane:

a) a₁ = 7, a₂₉ = 133

b) a₁ = -12, a₃₄ = 65

Odp.      a) r = 4,5

              b) r = 2

2. Między liczby 65 i 35 wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Odp. 65, 62, 59, …, 38, 35

3. Wyznacz pierwszy wyraz i różnice ciągu arytmetycznego (a_n), jeśli: a₉ - a₆ = 21 i a₉   a₆ = 2146.

Odp. a₁ = 2 i r = 7 lub a₁ = -93 i r = 7

4. Dla jakich wartości x liczby: x² + 1, 5x - 2, 2x² + x + 1 tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny?

Odp. x = 1 lub x = 2

5. Udowodnij, że kwadraty wyrażeń: x² - 2x -1, x² + 1 i x² + 2x - 1 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.