Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
Niech an oznacza dowolny ciąg liczbowy, symbolem Sn
oznaczmy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, więc:
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
…..
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
Przyjmujemy również ,że S1=a1
i S0=0
Jeśli an jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem
Sn=
dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n.
Przykład 1.
Obliczmy sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych.Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1=100 i ostatnim wyrazie a900=999.
Mamy więc:
S900=
Przykład 2.
O ciągu arytmetycznym wiemy, że a1=4, r=3, Sn=650. Obliczymy n.Uwzględniając, że an= a1+ (n-1) ∙ r, otrzymujemy wzór na sumę:
Sn=
Z tego wzoru otrzymujemy równanie z niewiadomą n
650=
3n2+5n=1300
(3n+65) ∙ (n-20)=0
Stąd wybieramy tylko n>0 zatem n=20
Liczba 650 to suma 20 początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadania do zrobienia
1. Znajdź sumę:
a) trzydziestu kolejnych liczb będących
wielokrotnościami 9, z których najmniejszą liczbą jest 9
b) pięćdziesięciu kolejnych liczb
będących wielokrotnościami 12, z których najmniejszą liczbą jest 24
Odp. a)
4185 b)
15900
2. Oblicz sumę wszystkich liczb
naturalnych:
a) mniejszych od 200 i których reszta z
dzielenia przez 3 jest równa 1
b) większych od 100 i mniejszych od 500,
których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 1 lub 4
Odp. a)
6700 b)
48000
3. Miary kątów wielokąta o n bokach tworzą ciąg arytmetyczny,
którego pierwszy wyraz równa się
Odp. r
=
4. Wykopanie pierwszego metra studni
kosztuje 8 zł, a każdego następnego o 3 zł drożej.
a) Ile kosztuje wykopanie studni o
głębokości 25 m?
b) Wykopanie studni kosztowało 798 zł.
Jaka była jej głębokość?
Odp. a)
1100 zł
b)
21 m
. Oblicz różnice tego
ciągu, jeśli: n = 3