1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Ciąg geometryczny

 

Definicja 1.
Niech an będzie ciągiem co najmniej trójwyrazowym. Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg an, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Przykłady ciągów geometrycznych:
(1,3,9,27,81,…)    a1=1   q=3   ciąg rosnący
(32,16,8,4,2,…)     a1=1   q=1/2   ciąg malejący
(2,0,0,0,….0           a1=2   q=0   ciąg stały od drugiego wyrazu
(8,-4,2,-1,1/2,…)   a1=8   q=-1/2  ciąg niemonotoniczny

Następujące twierdzenie dotyczy monotoniczności ciągu geometrycznego.

Twierdzenie 1.
Niech an będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. jeśli :
a1>0 i q>1, to ciąg jest rosnący
a1>0 i q>0 i q<1, to ciąg jest malejący
a1<1 i q>1, to ciąg jest malejący
a1<0 i q>0 i q<0, to ciąg jest rosnący
q=1 lub q=0, to ciąg jest stały; jeśli q=0 - od drugiego wyrazu
a1≠0 i q<0, to ciąg nie jest monotoniczny

  1.  

    Ustalimy wyraz ogólny ciągu geometrycznego. Wypiszemy kilka kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, uzależniając je od wyrazu pierwszego a1 i ilorazu q.

    a2=a1 ∙ q

    a3=a1 ∙ q2

    a4=a1∙q3

    a5=a1∙q4

    ……

    Można udowodnić następujące twierdzenie.

     

    Twierdzenie 2.
    Jeśli na jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, q≠0, to an=a1∙qn-1
    Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n.

     

    Przykład 1.

    Wyznaczymy pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego an, wiedząc, że a5-a3=1680 i a3+a4=560

    Korzystając z twierdzenia 2 możemy zapisać:



    Dzielimy równania układu stronami:

    =

     

    q=4

    podstawiamy do pierwszego(lub drugiego) równania i obliczymy a1

     

    Ustalmy, jaka jest zależność miedzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wypiszemy wzory na trzy kolejne wyrazy ciągu:

    an-1=a1qn-2

    an=a1qn-1

    an+1=a1qn

    Mnożymy pierwszy i ostatni :

    an-1∙ an+1=a1qn-2∙ qn-1=( a1∙qn-1)2=an2

     (*) an2= an-1∙ an+1     jeśli n>1

    Zatem w ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrażenia jest równy iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego. Można to również zapisać tak:

    ,   jeśli n>1

     Z tego wynika, że w ciągu geometrycznym wartość bezwzględna każdego wyrazu (oprócz pierwszego i ewentualnie ostatniego) jest równa średniej geometrycznej wyrazu następnego i poprzedniego.

     Jeśli ciąg an spełnia taki warunek:
    a2n=an-1∙an+1, przy założeniu n>1
    oraz każdy jego wyraz jest różny od zera, to jest to ciąg geometryczny, ponieważ ilorazy kolejnych wyrazów są równe:
    przy założeniu n>1

    Zatem prawdziwe jest twierdzenie 3.

     Twierdzenie 3.
    Niech an oznacza ciąg o wyrazach różnych od zera. Ciąg an jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu ciągu, oprócz wyrazu pierwszego( i ewentualnie ostatniego), jest równy iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego.

     

    Przykład 2.

    Liczby (4a,a,2) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdziemy te liczby.
    Z twierdzenia trzeciego możemy zapisać:
    a2=4a∙2
    a2-8a=0
    a(a-8)=0
    a=0 lub a-8=0
    a=0 lub a =8

    Sprawdzamy :
    Dla a=0 (0,0,2) nie jest to ciąg geometryczny
    Dla a=8 (32,8,2) ciąg jest geometryczny
    Czyli liczbami tymi są: (32,8,2)


    Zadania do zrobienia



    1. Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem rekurencyjnym. Wyznacz wyraz ogólny ciągu i zbadaj monotoniczność tego ciągu


    Odp. an = 1000, ciąg stały


     

    2. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego a1, wiedząc, że:

    a) q = 5, a7 = 125

    b) q = , a13 =


    Odp.      a) a1 =


                  b) a1 = 0,5


     

    3. Wyznacz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego, wiedząc, że: a1 = 25, q = -3, an = 2025

    Odp. n = 5