Spróbujmy wyznaczyć wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego a_n.

Oznaczmy:

S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n  czyli

1.          S_n=a₁+a₁q+a₁q²

Zakładamy, że q=1.  Wówczas równość (1) przyjmuje wartość:
S_n=a₁+ a₁+ a₁+ a₁+ a₁+…+ a₁=n∙ a₁

                             n składników

Sprawdźmy teraz gdy q≠1. Wtedy wyrażenie  jest określone oraz równe 1. Zatem:

S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁∙q^n-1= ∙ ( a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1­)=

 (a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1)

Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy

S_n=a₁∙  

Prawdziwe jest więc twierdzenie1 :

Twierdzenie 1.
Jeśli a_n jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem:
S_n= a₁∙, o ile q≠1, dla dowolnej liczby naturalnej n;
S_n= a₁∙n, o ile q=1, dla dowolnej liczby naturalnej n.

1.  

   Przykład 1.

   Legenda głosi, że twórca gry „klasy” uznał, że sprzeda swój pomysł za następującą zapłatę. Chciał, by dano mu tyle zboża (w jednokilogramowych workach), ile zmieści się ich na planszy, jeśli  będzie układać się według zasady: na pierwszym polu 1 worek, na drugim 3worki, na trzecim 9 worków i tak dalej, tzn. na każdym kolejnym polu trzy razy więcej worków) niż na poprzednim- aż do ostatniego pola. Plansza ma 10 pól, więc na ostatnim polu powinno znaleźć się 3¹⁰ ziaren. Liczba kolejnych worków tworzy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie 3. Ile worków ziarna powinien dostać ?

    

   S₆₄=29524

    

   Przykład 2.

   W rosnącym ciągu geometrycznym suma trzech pierwszych wyrazów wynosi 7, a suma trzech kolejnych jest równa 56. Wyznacz  iloraz q i pierwszy wyraz ciągu a_1.

    Ciąg nie jest stały, więc:

2. 

   Trzy kolejne wyrazy tworzą ciąg geometryczny

   (a₁q³, a₁q⁴, a₁q⁵)

   O ilorazie q i pierwszym wyrazie a₁q³, zatem suma wyrazów takiego ciągu wynosi:

   

   Przekształcamy równanie(1) do postaci :

   

   Po uwzględnieniu równania (2) mamy:

    

   
   

   q=2

   Zatem teraz łatwo obliczyć że, a₁=1

Zadania do zrobienia