Lokaty pieniężne i kredyty bankowe
Procent prosty to oprocentowanie polegające na tym, że odsetki doliczane do złożonego wkładu nie podlegają dalszemu oprocentowaniu.
Procent składany to oprocentowanie polegające na tym, że odsetki doliczane do złożongo składu dolicza się do lokaty i oprocentowuje w następnym okresie. Doliczanie odsetek do lokaty nazywa kapitalizacja odsetek a czas po którym dolicza się odsetki to okres kapitalizacji.
Przykład 1.
W banku złożono lokatę w wysokości 20 000zł. Roczna stopa oprocentowania wynosi 5%, oprocentowanie jest proste. Oprocentowanie naliczane jest po każdym roku trwania lokaty. Ile pieniędzy wypłaci bank po wygaśnięciu lokaty, jeśli lokata została złożona na:
Rok
Dwa lata
Zakładamy, że przez cały okres trwania lokaty oprocentowanie nie zmieni się.
Ad a) Po roku odsetki od wkładu będą równe
5% ∙20 000 =1000(zł)
Zatem bank wypłaci kwotę
20 000 + 5% ∙ 20 000 =
20 000(1+0,05)=21 000(zł)
Ad b) Odsetki po każdym roku- przy oprocentowaniu prostym-
są takie same, więc po drugim roku również będą wynosić 1000 zł, więc po dwóch
latach bank wypłaci
20 000 + 2∙5% ∙20 000=20 000(1+2∙0,05)=
22 000(zł)
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
Ko- początkowa wartość kapitału
p-oprocentowanie (proste) w jednym okresie
rozliczeniowym
n- liczba okresów rozliczeniowych,
wówczas
Kn=Ko(1+n∙p)
UWAGA!: jeśli bank byłby związany do płacenia podatku np. w wysokości 18% od dochodów kapitałowych, wtedy wypłaciłby tylko 823% odsetek. Dla przykładu pod dwóch latach bank wypłaciłby zamiast 22 000zł wypłaciłby
20 000 + 2∙5%∙20 000∙82%=20 000(1+2∙0,05∙0,82)= 21 640(zł)
Przykład 2.
W banku złożono lokatę w wysokości 20 000zł. Roczna stopa oprocentowania wynosi 5%, oprocentowanie jest złożone(składane). Kapitalizacja odsetek następuje po każdym roku. Ile pieniędzy wypłaci bank po wygaśnięciu lokaty, jeśli lokata została złożona na:
Rok
Dwa lata
Zakładamy, że przez cały okres trwania lokaty oprocentowanie nie zmieni się.
Ad a) Po roku odsetki od wkładu będą równe
5% ∙20 000 =1000(zł)
Zatem bank wypłaci kwotę
20 000
+ 5%∙20 000
= 20 000(1+0,05)=21 000(zł)
Ad
b) W drugim roku kwota, od której liczony jest procent, wynosi 21 000zł.
Mamy zatem:
20 000 ∙ (1+0,05) + 20 000 ∙ (1+0,05)
∙ 0,05
=
Kwota
oprocentowania w drugim roku + odsetki po drugim roku
=20 000 ∙ (1+0,05)(1+0,05) =
20 000 ∙
(1+0,05)2 = 22 050
UWAGA!: Jeśli bank byłby związany do płacenia podatku np. w wysokości 18% od dochodów kapitałowych, wtedy po każdym okresie kapitalizacji doliczałby do oprocentowanej kwoty tylko 82% odsetek. Dla przykładu pod dwóch latach bank wypłaciłby zamiast 22 050zł wypłaciłby
20 000 ∙ (1+0,05 ∙0,82)2 = 21 673,62 zł
Jeśli zainwestujemy kwotę Ko na okres n lat, to procent składany, przy rocznej stopie procentowej r oraz m równych okresach kapitalizacji w ciągu roku, to po tym czasie otrzymamy kwotę K, gdzie
K=Ko
Jeśli dodatkowo potrącony będzie podatek p- procentowy od dochodów kapitałowych, to
K=Ko
Przykład 3.
Przyjmując oznaczenia jak w ostatnim twierdzeniu, otrzymujemy:
K=6000 r=0,06 m=4 n=3
Szukamy kwoty Ko:
Ko=
Ko=
Zatem wystarczy zainwestować 5018 zł.
Zadania do zrobienia
1. Przez pięć lat (na początku każdego roku) pan Nowak lokuje w banku po 3000 zł na 7% w skali roku (procent prosty). Jaką sumę otrzyma po pięciu latach? Uwzględnij 18-procentowy podatek od dochodów kapitałowych.
Odp. 17583 zł
2. Pan Kowalski założył w banku lokatę w
wysokości 10000 zł na procent składany. Po dwóch latach bank wypłacił mu
12155,06 zł. Jakie było oprocentowanie tej lokaty w skali roku, jeśli bank
kapitalizował odsetki co sześć miesięcy? Pomiń podatek od dochodów
kapitałowych. Odp. 10%
3. Pani Nowacka wzięła w banku kredyt w
wysokości 40000 zł na zakup samochodu. Roczna stopa procentowa kredytu jest
równa 16%. Kredyt ma być spłacony w ciągu dwóch lat, w kwartalnych ratach
równych. Pierwsza rata ma być spłacona po trzech miesiącach od daty przyznania
kredytu. Oblicz:
a) wysokość raty kredytu
b) łączną wartość odsetek od tego
kredytu.
Odp. a)
5941,11 zł
b)
7528,88 zł