Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny
Przykład 1.
Trzy liczby x,y,z w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb jest równa 24. Liczby x+1, y-2,z-2 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznaczymy ciąg arytmetyczny (x,y,z).
2y=x+z
Dodajemy do obu stron równania y i otrzymujemy:
3y=x+y+z skąd
y=8 więc
x+z=16
Z warunków zadania wynika, że ciąg (x+1, y-2,z-2) jest ciągiem geometrycznym, zatem na mocy ostatniego twierdzenia otrzymujemy:
62 = (x+1) ∙ (z-2)
Tworzymy układ równań:
Po prostych obliczeniach otrzymujemy :
Warunki zadania spełniają dwa ciągi arytmetyczne : (2,8,14) i (11,8,5)
Zadania do zrobienia
1. Trzy liczby, których suma wynosi 9, tworzą
ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 3
, a dwóch pozostałych
nie zmienimy, to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
Odp. 4
, 3, 1 lub -2, 3, 8
2. Trzy liczby x, y, z, których suma jest równa 24, tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Ciąg (x + 1, y - 2, z - 2) jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz liczby x, y, z.
Odp. x = 2, y = 8, z = 14 lub x = 11, y = 8, z = 5
3. Ciąg (a, b, c) jest ciągiem arytmetycznym, natomiast
ciąg 
jest geometryczny. Wyznacz iloraz ciągu
geometrycznego.
Odp. 