Spójrzmy na wykresy trzech ciągów nieskończonych a_n, b_n, c_n :

Łatwo zauważyć, że każdy wyraz tego ciągu zbliża się do pewnej liczby (granicy) wraz ze wzrostem liczby n. Wyrazy ciągu a_n przybliżają się do 1, wyrazy ciągu b_n do 0, wyrazu c_n do (-1). To „zbliżanie” może być bardziej lub mniej regularne. Niektóre wyrazy ciągu mogą być równe „granicy” ciągu ale żaden nie musi. Pomyślmy co oznacza stwierdzenie, że nieskończony ciąg liczbowy ma granicę.

Widzimy, że wyrazy ciągu zbliżają się do 1. Zobaczmy, które z nich są oddalone od 1 o mniej niż np. . Odległość punktu x_o­ od punktu x jest równa |x-x_o|.

Zatem:

|a_n-1|<              ||<              ||<               <              n>7

Zaczynając od 8 wyrazu, wszystkie kolejne wyrazy tego ciągu są oddalone od 1 o mniej niż Zauważmy, że jest tylko skończona liczba wyrazów, których odległość od 1 jest większa niż .

Jeżeli mamy podany nieskończony ciąg a_n i pominiemy w nim skończoną liczbę wyrazów, to można o pozostałych wyrazach powiedzieć, że stanowią one prawie wszystkie wyrazy ciągu. Dzięki temu sformułowaniu, powiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n gdzie a_n=, spełniają warunek                |a_n-1|<.

2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …

Skończona liczba wyrazów                       prawie wszystkie wyrazy ciągu

Sformułowanie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” można również zastąpić stwierdzeniem: „wszystkie wyrazy ciągu od pewnego miejsca”. Postawmy zatem pytanie: czy dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej Ƹ (epsilon) prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n, gdzie a_n=, leżą w odległości mniejszej niż Ƹ od 1?

Spróbujmy inaczej: czy prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n gdzie a_n=, leżą dowolnie blisko liczby 1? Odpowiedź twierdząca oznaczałaby, że nierówność

 Ƹ

Byłaby prawdziwa dla prawie wszystkich n. Gdy przekształcimy równoważnie nierówność dostaniemy

 Ƹ                || < Ƹ                 n >

Ciągiem zbieżnym nazywamy ciąg nieskończony, który ma granicę( będącą liczbą rzeczywistą).

Zadania do zrobienia

1. Korzystając z definicji granicy ciągu, wykaż, że liczba:

a) 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a_n =

b) 1 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a_n =

c) -2 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a_n =

d)  jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a_n =