Dowód:

Zakładamy przeciwnie, ciąg nieskończony a_n będzie zbieżny do dwóch granic a i b (a≠b). Weźmy         Ƹ = > |a-b|, (zauważ Ƹ>0). Zgodnie z definicją granicy ciągu większość wyrazów ciągu leży w przedziale (a- Ƹ, a+ Ƹ) oraz (b- Ƹ, b+ Ƹ), ale to jest niemożliwe bo przedziały wcześniej podane są rozłączne. Uzyskaliśmy sprzeczność, co udowodniło, że ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.

Kolejne twierdzenia dotyczą liczenia granic.

Twierdzenie 2.
Jeśli nieskończony ciąg a_n jest ciągiem stałym i a_n=a, to ciąg a_n jest zbieżny i
 

Twierdzenie 3.
Jeśli  i a_n≥ 0 dla każdej liczby n,  to .

Przykład 1.

Wykaż, że  i

Ponadto

 dla każdej liczby naturalnej dodatniej n

 dla każdej liczby naturalnej dodatniej n

Na podstawie twierdzenia 3 mamy:

Twierdzenie 4.
Jeśli |q|<1, to ciąg nieskończony a_n, gdzie a_n=qⁿ, jest zbieżny i .

Dowód:

Oczywistym jest, że twierdzenie jest prawdziwe gdy q=0. Załóżmy, że q≠0. Jeśli q≠0 oraz |q|<1, więc  Oznaczmy x=. Zatem , stąd mamy

W oszacowaniu powyżej została zastosowana nierówność Bernoulliego. Zatem :

Dla

A to znaczy, że

Twierdzenie 5. ( o działach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych)
Jeśli to istnieją granice ciągów (a_n+b_n), (a_n-b_n), (a_n ∙b_n) oraz  przy dodatkowym założeniu, że b≠0 i b_n≠0 dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, i prawdziwe są następujące równości:

Przykład 2.

1.                 b)               c)

Ad a) Ciąg o wyrazie ogólnym  gdzie , zapiszmy w postaci iloczynu dwóch ciągów zbieżnych: ciągu stałego o wyrazach równych 10, który ma granicę równą 10( twierdzenie 2.) i ciągu o wyrazie ogólnym  gdzie , którego granica wynosi 0

Ad b) Wiemy, że istnieje granica ciągu o wyrazie ogólnym  gdzie , zatem istnieje granica ciągu u wyrazie ogólnym  . Obliczmy:

Ad c) Musimy podzielić licznik i mianownik ułamka   przez n² ( czyli przez n w najwyżej potędze, jakiej znajduje się w mianowniku):

W liczniku powyższego ułamka mamy sumę trzech ciągów, każdy z nich jest zbieżny. Dzięki twierdzeniu 5a istnieje granica ciągu będącego sumą tych trzech ciągów- granica licznika. Podobnie mamy z granicą mianownika- na mocy twierdzenie 5d istnieje granica ilorazu. Obliczamy :

Przykład 3.

a)                                          b)

Ad a) Zastosujemy twierdzenie 2, 4 oraz 5c

Ad b) W pierwszym kroku podzielimy licznik i mianownik przez 3ⁿ, później użyjemy twierdzenia 2,4 oraz 5.

Twierdzenie 6.
Jeśli a>0, to ciąg nieskończony a_n o wyrazie ogólnym a_n=, n>1, jest zbieżny i

Twierdzenie 7. (o trzech ciągach)
Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone a_n, b_n, c_n,  oraz istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej  prawdziwa jest nierówność , to .

Przykład 4.

Dla każdej liczby naturalnej dodatniej poniższa nierówność jest prawdziwa:

,

Czyli

Ponadto

Zatem na mocy twierdzenia 7:

Zadania o zrobienia