Ciąg nieskończony jest rozbieżny do  (ma granicę niewłaściwą ), wtedy gdy jego wyrazy „rosną nieograniczenie”. Formułując inaczej- prawie wszystkie jego wyrazy są większe od dowolnej liczby K. Analogicznie jest z ciągiem rozbieżnym do  - czyli prawie wszystkie jego wyrazy są mniejsze od dowolnej liczby K.

Definicja 1.
Ciąg nieskończony a_n nazywamy ciągiem rozbieżnym do plus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby K istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej n> zachodzi nierówność a_n> K.

Definicja 2.
Ciąg nieskończony a_n nazywamy ciągiem rozbieżnym do minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby K istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej n> zachodzi nierówność a_n< K.

 Rysunek a) jest ilustracją definicji 1. a rysunek b) jest ilustracją definicji 2.

Przykład 1.

Niech K oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Mamy wskazać taką liczbę , że każdej liczby naturalnej n> spełniona jest nierówność 3n-1 > K. Mamy:

3n-1>K                           3n > K+1                   n>

Przyjmijmy, że

Dla każdej liczby K istnieje taka liczba  (np. ), że dla każdej liczby naturalnej n>  jest spełniona nierówność 3n-1 > K, co dowodzi, że

Twierdzenie 1.
Jeśli dany ciąg nieskończony a_n, dla którego

Przykład 2.

Więc na podstawie powyższego twierdzenia mamy

Twierdzenie 2.
Jeśli dany ciąg nieskończony a_n, dla którego

Twierdzenie 3.
Dane są ciągi nieskończone a_n i b_n, dla których , wówczas
Jeśli b>0, to
Jeśli b<0, to

Analogiczne twierdzenia można sformułować dla przypadków, gdy ciąg a_n jest rozbieżny do  i ciąg b_n jest zbieżny do liczby b, b≠0.

Przykład 3.

Ad a) z wyrażenia ) wyłączamy przed nawias n³. Otrzymujemy: 
Czynnik n³ dąży do +, a wyrażenie w nawiasie do 3. Zatem na mocy twierdzenia 3. -mamy:

Ad b) postępujemy podobnie jak w punkcie a)

Ad c) dzielimy licznik i mianownik ułamka przez n². Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci iloczynu. Mamy więc:

=+

 , stąd

Zadania do zrobienia