Szereg geometryczny
Niech
an będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym
nazywamy sumę wszystkich wyrazów ciągu an i oznaczać:
a1+a2+a3+a4+…+an
Wyrażenie Sn= a1+a2+a3+a4+…+an nazywamy sumą częściową szeregu, jeśli ciąg sum częściowych Sn ma granicę S, czyli
To mówimy, że szereg liczbowy jest zbieżny (S jest sumą szeregu) i zapisujemy to w następujący sposób:
a1 + a2 + a3 + a4 +… = S
W przeciwnym przypadku szereg jest rozbieżny.
Przykład 1.
Szereg
nazywa się szeregiem harmonicznym. Sumy częściowe
tego szeregu wzrastają nieograniczenie, chociaż bardzo powoli. Szereg
harmoniczny jest więc rozbieżny.
W ogólnym przypadku wyznaczenie sumy szeregu lub tylko ustalenie, czy szereg jest zbieżny, bywa zadaniem bardzo trudnym.
Weźmy pod lupę szereg geometryczny.
Jeśli an jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, który spełnia warunek |q| < 1, to szereg jest geometryczny
Jest zbieżny i jego suma wynosi
Dowód:
Wiesz
już jak wygląda wzór na częściową sumę szeregu geometrycznego:
Z poznanego wcześniej twierdzenia wiemy, że jeśli |q|<1 to
Dodatkowo uwzględnimy twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych) to otrzymamy :
Tak więc można zapisać:
Przykład 2.
Dany jest szereg liczbowy o wyrazie ogólnym
. Jest to wyraz ogólny ciągu
geometrycznego o pierwszym wyrazie a1=1/2 i ilorazie q=1/2
Kolejne sumy częściowe tego szeregu to:
S1=
S2=
…
Sn=
Ze wzoru na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego mamy:
Ponieważ
Widzimy, że omawiany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa 1.
Przykład 3.
Zapiszmy następujący ułamek w postaci ilorazu liczb naturalnych:
0,3333333333333…
Możemy
go rozpisać w następujący sposób:
0,33333333333…=
0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …
Czyli
w postaci szeregu geometrycznego, w którym
a1=0,3 i
q=0,1
ponieważ
|0,1|<1, więc szereg geometryczny jest zbieżny i suma tego szeregu jest
równa
Można więc
zapisać 0,3333333…=
Zadania do zrobienia
a) 0,1111…
b) 3,141414…
c) -0,262626…
d) 0,2999…
2. Wysokość trójkąta równobocznego o boku
długości a jest bokiem drugiego trójkąta równobocznego, a wysokość tego
trójkąta jest znów bokiem trzeciego trójkąta równobocznego itd. Oblicz sumę:
a) obwodów
b) pól
wszystkich trójkątów.
Odp. a)
6a (2 +
b)
a2
1. Zapisz ułamki w postaci ilorazu liczb
całkowitych:
)