Niech a_n będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy sumę wszystkich wyrazów ciągu a_n i oznaczać:

 a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n

 Wyrażenie   S_n= a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n      nazywamy sumą częściową szeregu, jeśli ciąg sum częściowych S_n ma granicę S, czyli

To mówimy, że szereg liczbowy jest zbieżny (S jest sumą szeregu) i zapisujemy to w następujący sposób:

 a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +… = S

W przeciwnym przypadku szereg jest rozbieżny. 

Przykład 1.

W ogólnym przypadku wyznaczenie sumy szeregu lub tylko ustalenie, czy szereg jest zbieżny, bywa zadaniem bardzo trudnym.

Weźmy pod lupę szereg geometryczny.

Twierdzenie 1.
Jeśli a_n jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, który spełnia warunek |q| < 1, to szereg jest geometryczny

 Jest zbieżny i jego suma wynosi

Dowód:
Wiesz już jak wygląda wzór na częściową sumę szeregu geometrycznego:

Z poznanego wcześniej twierdzenia wiemy, że jeśli |q|<1 to

Dodatkowo uwzględnimy twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych) to otrzymamy :

Tak więc można zapisać:

Przykład 2.

 Kolejne sumy częściowe tego szeregu to:

S₁=
S₂=

…
S_n=

 Ze wzoru na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego mamy:

Ponieważ

Widzimy, że omawiany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa 1.

Przykład 3.

0,3333333333333…
 Możemy go rozpisać w następujący sposób:
0,33333333333…= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …
Czyli w postaci szeregu geometrycznego, w którym
a₁=0,3    i    q=0,1
ponieważ |0,1|<1, więc szereg geometryczny jest zbieżny i suma tego szeregu jest równa

 Można więc zapisać 0,3333333…=

Zadania do zrobienia

1. Zapisz ułamki w postaci ilorazu liczb całkowitych:

a) 0,1111…

b) 3,141414…

c) -0,262626…

d) 0,2999…

2. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a jest bokiem drugiego trójkąta równobocznego, a wysokość tego trójkąta jest znów bokiem trzeciego trójkąta równobocznego itd. Oblicz sumę:

a) obwodów

b) pól

wszystkich trójkątów.

Odp.      a) 6a (2 + )

                b) a²