DEFINICJA 1.
Jednomianem stopnia n ()  jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać w postaci , gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą różną od 0. Liczbę a nazywamy współczynnikiem jednomianu. Jednomianem stopnia zero nazywamy stałą różną od zera. Jednomianem zerowym nazywamy stałą równą zero. Jednomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Jednomian 5 jest jednomianem stopnia  drugiego, jego współczynnik jest równy 5.

W celu określenia stopnia i współczynnika wielomianu  należy sprowadzić go do najprostszej postaci, czyli . Stąd, wielomian jest stopnia siódmego, a współczynnik wielomianu wynosi -6.

Jednomianami podobnymi (wyrazami podobnymi) nazywamy jednomiany różniące się od siebie co najwyżej współczynnikami liczbowymi, np.  oraz . Jednomian zerowy jest podobny do każdego jednomianu. Jednomiany podobne można zredukować poprzez zapisanie ich za pomocą innego wielomianu podobnego do nich, np.:

W wyniku dodawania jednomianów otrzymujemy wielomiany.

DEFINICJA 2.
Wielomianem stopnia n () jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy wyrażenie, które można zapisać w postaci:

Gdzie ,, … ,  są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, . Liczby ,, … ,  nazywamy współczynnikami wielomianu. Wielomianem stopnia zero nazywamy każdą liczbę rzeczywistą różną od zera. Wielomianem zerowym nazywamy liczbę równą zeru. Wielomian zerowy  nie ma określonego stopnia.

Wyrazami wielomianu nazywamy wyrażenia .

Wielomiany zwyczajowo oznaczamy wielkimi literami. Jeżeli stopień wielomianu jest równy n to .

Przykład 1.

Dany jest wielomian . Podamy stopień wielomianu oraz jego współczynniki.
Najpierw redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy wielomian W(x).

Teraz podajemy stopień wielomianu i jego współczynniki.          

Dwumianem nazywamy wielomian będący sumą dwóch jednomianów niezerowych różnych stopni, np.: czy  Dwumian stopnia pierwszego np.  nazywamy dwumianem liniowym.

Trójmianem nazywamy wielomian będący sumą trzech jednomianów niezerowych różnych stopni, np.:  czy . Trójmian stopnia drugiego np.  nazywamy trójmianem kwadratowym.

Wartość wielomianu w punkcie o odciętej  jest równa sumie współczynników tego wielomianu.

Przykład 2.

Wykażmy, że jeśli wielomian , gdzie  dla liczby 5 przyjmuje wartość 62 oraz suma wszystkich jego współczynników jest równa 7, to co najmniej jeden ze współczynników nie jest liczbą całkowitą. 

Założenie: , gdzie ,

Teza: co najmniej jedna z cyfr nie jest liczbą całkowitą.

Dowód: (nie wprost)

Załóżmy, że wszystkie współczynniki wielomianu W(x) są liczbami całkowitymi. Z założenia:

Po odjęciu wyrażeń stronami otrzymujemy:

Co można też zapisać jako:

Lewa strona równania jest z założenia liczbą całkowitą, bo cyfry . Ponadto jest to liczba podzielna przez 4, a więc jest parzysta. Prawa strona równania jest liczbą nieparzystą. Zatem otrzymana równość jest fałszywa. Założenie, że wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi doprowadziło nas do sprzeczności. Stąd wnioskujemy, że co najmniej jeden ze współczynników nie jest liczbą całkowitą. Ckd.

Przykład 3.

Dany jest wielomian . Określmy stopień tego wielomianu w zależności od parametru

Zauważmy, że:

(

Jeśli m=1, wielomian ma postać  więc

Jeśli m=-1, wielomian ma postać, więc

Jeśli , to

Zadania do zrobienia