DEFINICJA 1.
Wielomian  jest podzielny przez wielomian  różny od wielomianu zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian , dla którego . Wówczas wielomian  nazywamy ilorazem wielomianu  przez . Wielomian  jest dzielnikiem wielomianu .

Jeżeli wielomian , to każdy niezerowy wielomian  jest dzielnikiem wielomianu , przy czym iloraz  jest wielomianem zerowym .

Jeżeli wielomian  jest podzielny przez wielomian , to jest również podzielny przez wielomian , gdzie . Na przykładzie:  

,  więc jest on podzielny przez

,  więc jest on podzielny przez

Przykład 1.

Wielomian  podzielono przez wielomian . W wyniku dzielenia otrzymano wielomian . Wyznaczmy wartość współczynników i .

Z definicji: , stąd
 

Wiemy, że  oraz , więc z definicji równości wielomianów wiemy, że  oraz

Przykład 2.  

Wielomian  jest podzielny przez wielomian . Znajdźmy iloraz dzielenia  przez .

Wielomian  możemy zapisać jako

Wielomian  jest trzeciego stopnia, więc st. . Zatem iloraz jest dwumianem liniowym.
 gdzie .

Otrzymujemy

Porównujemy współczynniki przy  i wyrazie wolnym.
 i

Szukanym ilorazem jest wielomian

Zadania do zrobienia

1. Dany jest wielomian ². Wskaż cztery wielomiany stopnia drugiego, przez które jest podzielny wielomian

 2. Dany jest wielomian ^{2 2}  Podaj przykład wielomianu:

a) stopnia pierwszego

b) stopnia drugiego

c) stopnia trzeciego

d) stopnia czwartego

przez który jest podzielny wielomian

 3. Wielomian x³ x²b podzielono przez wielomian ² . W wyniku tego dzielenia otrzymujemy iloraz . Wyznacz wartości współczynników i .

Odp.

4. Wielomian ^{4 3 2}  podzielono przez wielomian ² . W wyniku tego dzielenia otrzymujemy iloraz ² . Wyznacz wartości parametrów i .

Odp.