Ułamek algebraiczny. Skracanie i rozszerzanie ułamków algebraicznych

Definicja: Ułamkiem algebraicznym jednej zmiennej x nazywamy wyrażenie

, którego licznikiem jest wielomian W(x), a mianownikiem wielomian P(x),P(x)≠0. Dziedziną tego ułamka jest zbiór liczb rzeczywistych, dla których wielomian P(x)≠0 Np. dla ułamka

D= R- {3}

Skracanie ułamków algebraicznych

Aby skrócić ułamek algebraiczny należy:

1) Przedstawić wielomiany licznika i mianownika ułamka w postaci iloczynowej
2) Określić dziedzinę ułamka
3) Podzielić licznik i mianownik przez ich wspólne czynniki

Przykład 1

Skróć ułamek algebraiczny

2) D: x≠0,x≠4

3)

Aby skrócić ułamek algebraiczny należy:

1) Określić dziedzinę ułamka
2) Pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez niezerowy wielomian i założyć, że ten wielomian nie przyjmuje wartości „0”.
3) Wykonać mnożenie wielomianów w liczniku i mianowniku ułamka

Przykład 2

Rozszerz ułamek algebraiczny tak, aby jego mianownik wynosił: (x-3)(x-1)

1) x≠3

٨ x≠1 ( bo (x-3)≠0

٨ (x-1)≠0)

2)

Zadania do zrobienia

1. Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego

Odp. a) D = R - {2}

b) D = R

c) D = R - {-2, 0, 2}

2. Skróć ułamki; podaj konieczne założenia:

3. Skróć ułamki; podaj konieczne założenia:

Odp. , x 0

4. Skróć ułamki; podaj konieczne założenia:

Odp. , x -5, x 0

5. Rozszerz dane ułamki tak, aby otrzymać wyrażenia o podanych mianownikach. Podaj konieczne założenia.

a) =

b) =

Odp. a) , x 0, x 4

b) , x -1, x 0, x 1

6. Rozszerz dane ułamki tak, aby otrzymać ułamki o podanych licznikach. Podaj konieczne założenia.