1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów z resztą.

Przykład 1.

Podzielmy wielomian  przez wielomian .

 

Pierwszy od lewej wyraz wielomianu  dzielimy przez pierwszy wyraz dzielnika . Następnie mnożymy go przez dzielnik  i mamy . Otrzymany wielomian podpisujemy pod dzielną i odejmujemy go od niej, np. poprzez dodanie wielomianu otrzymujemy pierwszą resztę z dzielenia:

Powtarzamy procedurę z poprzedniego punktu, ale teraz dzielną staje się wielomian . Dzielimy pierwszy wyraz wielomianu  przez pierwszy wyraz dzielnika . Otrzymany wielomian mnożymy przez dzielnik  i odejmujemy go od dzielnej. Otrzymujemy resztę 0, wielomian  jest więc podzielny przez .

 

Przykład 2.

Podzielmy wielomian  przez wielomian

Analogicznie do przykładu 1) wykonujemy dzielenie wielomianu.

W wyniku dzielenia wielomianu  przez wielomian  otrzymujemy iloraz  oraz resztę z dzielenia

 

Podsumujmy rozważania:

- Jeśli podzielimy niezerowy wielomian  przez niezerowy wielomian , dla którego  to otrzymamy iloraz  różny od wielomianu zerowego i resztę , przy czym stlub

- Jeśli podzielimy niezerowy wielomian  przez niezerowy wielomian , dla którego
st. < st., to otrzymamy iloraz  będący wielomianem zerowym oraz resztę , równą wielomianowi


Twierdzenie 1. (o rozkładzie wielomianu)
Jeśli oraz  są wielomianami i nie jest wielomianem zerowym, to istnieją dwa wielomiany oraz dla których, gdzie  lub

 

Stąd wynika, że:

 
Twierdzenie 2. (o reszcie)
Reszta z dzielenia wielomianu  przez  jest równa

 

Przykład 3.

Reszta z dzielenia wielomianu  przez dwumian  jest równa , zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez wielomian  wynosi  Obliczmy resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian.

Nie znamy wzoru wielomianu W(x), więc nie możemy wykonać dzielenia przez wielomian
. Musimy więc wykorzystać twierdzenia o rozkładzie wielomianu i o reszcie.

Na podstawie twierdzenia o rozkładzie wielomianu wiemy, że: , gdzie

Stąd wynika, że reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego lub jest wielomianem zerowym, więc ma postać: gdzie .

Na podstawie twierdzenia o reszcie wiemy, że

Co możemy zapisać jako:

Stąd wynika, że:


Resztą z dzielenia wielomianu przez  jest wielomian


Zadania do zrobienia


1. Wykonaj dzielenie wielomianów:

a) (x3 - 6x2 + 12x - 16) : (x - 4)

b) (x3 - x2 - 5x + 21) : (x + 3)

Odp.      a) x2 - 2x + 4

               b) x2 - 4x + 7

 

2. Wykonaj dzielenie wielomianów:

a) (16x4 + 8x3 - 7x2 + 2x + 1) :

b) (2x5 + 3x4 - 2x - 3) :

Odp.      a) 16x3 + 4x2 - 8x + 4

               b) 2x4 - 2

 

3. Dla jakich wartości parametru reszta z dzielenia wielomianu 26 3  przez dwumian ) jest równa ?

Odp.  lub

 

4. Dla jakich wartości parametrów  reszta z dzielenia wielomianu  przez wielomian  jest równa , gdy:

 = x3 + 4x2 + ax + b,              = x2 + 3x + 2,            

Odp.