DEFINICJA 1.
Pierwiastkiem wielomianu  nazywamy liczbę rzeczywistą , dla której .

Przykład 1.

Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu .

Wartość wielomianu W(x) jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru, stąd:

Stąd wynika, że:

Twierdzenie 1.
Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu  jednej zmiennej rzeczywistej  jest nie większa niż stopień wielomianu

Żeby móc sprawdzić czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu najlepiej zapisać ten wielomian za pomocą czynników stopnia co najwyżej drugiego. Czasami okazuje się to niemożliwe, lub jest bardzo trudne; wtedy przydatne okazuje się poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 2. (o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych)
Jeżeli wielomian  gdzie , o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, który można zapisać za pomocą ułamka nieskracalnego, to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego, natomiast mianownik -  dzielnikiem współczynnika  przy najwyższej potędze.

Z powyższego twierdzenia wynikają poniższe wnioski:

Jeśli wielomian , gdzie  ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego

Jeśli wielomian , gdzie  ma pierwiastek wymierny, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego

Przykład 2.

Wyznaczmy (o ile istnieją) wymierne pierwiastki wielomianu .

Wielomian ma współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

 oraz

Stąd wiemy, że

A więc pierwiastkami wymiernymi wielomianu  są .

Przykład 3.

Udowodnijmy, że liczba  jest niewymierna.

Zauważmy, że liczba ta jest pierwiastkiem wielomianu . Na podstawie wniosku nr2. Wiemy, że jeżeli ten wielomian ma pierwiastki rzeczywiste, to należą one do zbioru  Liczba  jest pierwiastkiem , ale nie należy do tego zbioru, więc jest liczbą niewymierną.

Zadania do zrobienia