Twierdzenie 1. (Bezouta)
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian  jest podzielny przez dwumian

Warto zwrócić uwagę na fakt, że twierdzenie Bezouta ma postać równoważności, a więc wynika z niego zarówno to, że istnienie pierwiastka  wielomianu jest równoznaczne z podzielnością tego wielomianu przez (x-a), jak i to, że jeżeli  to jego pierwiastkiem jest . Zatem, jeżeli  nie jest pierwiastkiem wielomianu, to . Ponadto, jeżeli   to liczba  nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykład  1.

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian
  jest podzielny przez wielomian .

Na podstawie tw. Bezouta wiemy, że  wtedy i tylko wtedy, gdy .
 
, stąd:
 
 
 
 

Wielomian  jest podzielny przez  wtedy i tylko wtedy, gdy .

Przykład  2.

Obliczmy wartości współczynników wielomianu , wiedząc, że wielomian  jest podzielny przez wielomian . Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu.

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian , więc jest podzielny przez każdy z dwumianów  oraz . Zatem z tw. Bezouta wynika, że liczby 6 i   są pierwiastkami wielomianu , czyli i .

Otrzymujemy następujący układ równań:

Wielomian W(x) ma więc postać: .  więc wielomian ten ma co najwyżej trzy pierwiastki. Trzeci pierwiastek wyznaczymy korzystając z informacji, że .

Wykonajmy dzielenie:

Zatem  Pierwiastkami tego wielomianu są .

Zadania do zrobienia

1. Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian  jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli:

a)  6x⁴ + 5x³ - 38x² + 5x + 6;      

b)  10x⁵ - 6x³ + 136;       )

Odp.      a) tak

                b) nie

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru  dla których wielomian  jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli:

a)  2x³ + (k² + 1)x² + x - k;           ()

b) x³ - kx² - (k² + 3)x - 4;             )

Odp.      a)

               b)

3. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu  wiedząc, że wielomian ten jest podzielony przez podany obok dwumian, jeśli:

W(x) = 3x³ + 20x² + 11x - 6          

Odp.

4. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu  jeśli:

 x³ + 2x² - 3x - 10

Odp. 2

5. Liczby r₁ i r₂ są pierwiastkami wielomianu . Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu, jeśli:

 x³ - (a + b)x² - (a - b)x + 3,        r₁ = 1, r₂ = 3

Odp.

6. Dla jakich wartości parametrów  wielomian  jest podzielny przez wielomian  jeśli:

2x³ - ax² + bx + 15,        (x + 3)(x - 1)

Odp.