Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów
Warto zwrócić uwagę na fakt, że twierdzenie Bezouta ma postać równoważności, a więc wynika z niego zarówno to, że istnienie pierwiastka wielomianu jest równoznaczne z podzielnością tego wielomianu przez (x-a), jak i to, że jeżeli to jego pierwiastkiem jest . Zatem, jeżeli nie jest pierwiastkiem wielomianu, to . Ponadto, jeżeli to liczba nie jest pierwiastkiem wielomianu.
Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których
wielomian
jest podzielny przez wielomian .
Na podstawie tw. Bezouta wiemy, że wtedy i tylko wtedy, gdy .
, stąd:
Wielomian jest podzielny przez wtedy i tylko wtedy, gdy .
Obliczmy wartości współczynników wielomianu , wiedząc, że wielomian jest podzielny przez wielomian . Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu.
Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian , więc jest podzielny przez każdy z dwumianów oraz . Zatem z tw. Bezouta wynika, że liczby 6 i są pierwiastkami wielomianu , czyli i .
Otrzymujemy następujący układ równań:
Wielomian W(x) ma więc postać: . więc wielomian ten ma co najwyżej trzy pierwiastki. Trzeci pierwiastek wyznaczymy korzystając z informacji, że .
Wykonajmy dzielenie:
Zatem Pierwiastkami tego wielomianu są .
1. Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli:
a) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6;
b) 10x5 - 6x3 + 136; )
Odp. a) tak
b) nie
2. Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których wielomian jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli:
a) 2x3 + (k2 + 1)x2 + x - k; ()
b) x3 - kx2 - (k2 + 3)x - 4; )
Odp. a)
b)
3. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielony przez podany obok dwumian, jeśli:
W(x) = 3x3 + 20x2 + 11x - 6
Odp.
4. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu jeśli:
x3 + 2x2 - 3x - 10
Odp. 2
5. Liczby r1 i r2 są pierwiastkami wielomianu . Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu, jeśli:
x3 - (a + b)x2 - (a - b)x + 3, r1 = 1, r2 = 3
Odp.
6. Dla jakich wartości parametrów wielomian jest podzielny przez wielomian jeśli:
2x3 - ax2 + bx + 15, (x + 3)(x - 1)
Odp.