Wyobraźmy sobie, że wielomian ma postać . Jeżeli jest też pierwiastkiem wielomianu, wtedy  możemy zapisać w postaci . Natomiast, jeżeli   nie jest pierwiastkiem wielomianu, wtedy   nie możemy zapisać w postaci , stąd dochodzimy do definicji:

DEFINICJA 1.
Pierwiastkiem k-krotnym , gdzie  nazywamy liczbę  wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian  jest podzielny przez  i nie jest podzielny przez . Liczbę  nazywamy krotnością pierwiastka.

Przykład  1.

Wykażmy, że  jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu

Należy wykazać, że:

Wielomian  jest podzielny przez

Wielomian  nie jest podzielny przez

Wykonujemy dzielenie:
Otrzymujemy iloraz oraz resztę , więc

Wielomian W(x) możemy więc zapisać w postaci . Żeby ten wielomian był podzielny przez  to wielomian  musiałby być podzielny przez , co nie jest prawdą. Stąd wynika, że

Co kończy dowód.

Przykład  2.

Wyznaczmy wartości parametrów  i  wielomianu   wiedząc, że ma on pierwiastek trzykrotny.

Niech  oznacza trzykrotny pierwiastek wielomianu, wtedy wielomian możemy zapisać w postaci . Na podstawie równości wielomianów otrzymujemy układ równań:

Jeżeli  wtedy wielomian ma postać  więc potrójnym pierwiastkiem jest .

Jeżeli  wtedy wielomian ma postać  więc potrójnym pierwiastkiem jest .

Przykład  3.

Dany jest wielomian . Wyznaczmy ilość pierwiastków wielomianu w zależności od parametru .

Wielomian ten możemy zapisać w postaci  gdzie
 .  Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest . Liczba pozostałych pierwiastków zależy od parametru .

Rozpatrzmy więc przypadki ze względu na wyróżnik trójmianu :

I przypadek:

Jeżeli  to wielomian  ma dwa pierwiastki jednokrotne. Sprawdźmy, czy istnieje wśród nich pierwiastek równy

Jeśli  to jednym z pierwiastków wielomianu jest -1, zaś drugi jest różny od -1. Wówczas wielomian W(x) ma jeden pierwiastek trzykrotny (-1) i jeden inny podwójny.

Jeśli to oba pierwiastki wielomianu są różne od siebie i od -1, więc wielomian  ma dwa pierwiastki dwukrotne i jeden pojedynczy (-1).

II przypadek:

Jeżeli  to wielomian Q(x) ma jeden pierwiastek dwukrotny,

Jeśli   to otrzymujemy .  W tym przypadku  wielomian W(x) ma jeden pierwiastek pojedynczy (-1) i jeden pierwiastek czterokrotny różny od -1.

Jeśli m=2 to otrzymujemy  W tym przypadku  wielomian W(x) ma jeden pierwiastek pojedynczy (-1) i jeden pierwiastek czterokrotny różny od -1.

III przypadek:

Jeśli  to wielomian Q(x) nie ma pierwiastków. Wobec tego wielomian W(x) ma tylko jeden pierwiastek pojedynczy (-1).

Podsumujmy:

Wielomian  ma:

Jeden pierwiastek jednokrotny gdy
Jeden pierwiastek trzykrotny i jeden dwukrotny gdy

Jeden pierwiastek pojedynczy i dwa pierwiastki dwukrotne gdy
Jeden pierwiastek czterokrotny i jeden pierwiastek jednokrotny gdy

Zadania do zrobienia

1. Podaj pierwiastki wielomianu  i określ krotność każdego z nich, jeśli:

     (x² + 10x + 25)²(x² - 25)(x² + x +6)

Odp. 5 - jednokrotny, (-5) - trzykrotny.

2. Sprawdź, czy liczba  jest pierwiastkiem wielomianu . Jeśli tak, określ krotność tego pierwiastka:

 8x⁵ - 12x⁴ + 14x³ - 13x² + 6x - 1,             

Odp. jest pierwiastkiem trzykrotnym

3. Wykaż, że liczba jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu , jeśli:

 x⁵ + 3x⁴ + x³ - 5x² - 6x - 2,                         

4. Wyznacz liczbę , wiedząc, że wielomian  ma jeden pierwiastek dwukrotny, jeśli:

4x² + 12x + a

Odp.