Rachunek pochodnych pozwala badać wiele właściwości w matematyce, dzięki czemu ma szerokie zastosowanie m.in. w fizyce, chemii czy ekonomii. Pochodna umożliwia np. zbadanie monotoniczności funkcji tj. ustalenie kiedy funkcja rośnie a kiedy maleje. Rozważmy funkcję , dziedziną której jest . Ustalmy, w jakich przedział funkcja ta rośnie, a w jakich maleje. W tym celu liczymy pochodną funkcji f:

Jak już wiemy pochodna funkcji w punkcie x0 jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu tej funkcji. Ustalmy dla jakich argumentów funkcja  będzie zmieniała swój znak. Aby to sprawdzić będziemy musieli 0 z :

Więc:

Na tej podstawie jesteśmy w stanie sporządzić poglądowy rysunek funkcji f i jej pochodnej, który ułatwi nam wyciągnięcie konkretnego wniosku:

UWAGA: Funkcję f’(x) narysowaliśmy jako funkcję liniową, gdyż interesuje nas jedynie dla jakiego argumentu zmienia ona swój znak. Jeśli liczba pierwiastków wynosiłaby np. dwa, wówczas wykres pochodnej moglibyśmy przedstawić jako funkcję kwadratową.

Widzimy z powyższych wykresów, że dla  funkcja f maleje, a dla  rośnie (a więc osiąga minimum w punkcie -4). Taka własność pomiędzy funkcją, a jej pochodną zachodzi zawsze.

Twierdzenie 2
Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz:
a)    Funkcja f jest rosnąca w tym przedziale, to f’(x)  0 dla każdej liczby x z przedziału (a, b).
b)    Funkcja f jest malejąca w tym przedziale, to f’(x)  0 dla każdej liczby x z przedziału (a, b).

Przykład 1
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji .

. Liczymy pochodną i przyrównujemy ją do 0:

0
0

UWAGA: Jeśli funkcja rośnie w dwóch to nie oznacza, że rośnie w sumie tych przedziałów.
UWAGA: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale  oraz:
a)    Funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b), to jest również rosnąca w przedziale .
b)    Funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b), to jest również malejąca w przedziale .

Wniosek: Funkcja f jest rosnąca w przedziale ,  oraz malejąca w przedziale .

Zadania do zrobienia