Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji
Rachunek pochodnych pozwala badać wiele właściwości w
matematyce, dzięki czemu ma szerokie zastosowanie m.in. w fizyce, chemii czy
ekonomii. Pochodna umożliwia np. zbadanie monotoniczności funkcji tj. ustalenie
kiedy funkcja rośnie a kiedy maleje. Rozważmy funkcję 
, dziedziną której jest 
. Ustalmy, w jakich
przedział funkcja ta rośnie, a w jakich maleje. W tym celu liczymy pochodną
funkcji f:
Jak już wiemy pochodna funkcji w punkcie x0 jest
współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu tej funkcji. Ustalmy dla jakich
argumentów funkcja 
będzie zmieniała swój znak. Aby to sprawdzić
będziemy musieli 0 z :
Więc:
Na tej podstawie jesteśmy w stanie sporządzić poglądowy
rysunek funkcji f i jej pochodnej, który ułatwi nam wyciągnięcie konkretnego
wniosku:
UWAGA: Funkcję f’(x) narysowaliśmy jako funkcję liniową, gdyż interesuje nas jedynie dla jakiego argumentu zmienia ona swój znak. Jeśli liczba pierwiastków wynosiłaby np. dwa, wówczas wykres pochodnej moglibyśmy przedstawić jako funkcję kwadratową.
Widzimy z powyższych wykresów, że dla funkcja f maleje, a dla
rośnie (a więc
osiąga minimum w punkcie -4). Taka własność pomiędzy funkcją, a jej pochodną zachodzi
zawsze.
Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz dla każdej liczby x z tego przedziału f’(x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b).
Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz dla każdej liczby x z tego przedziału f’(x) < 0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b).
Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz:
a) Funkcja f jest rosnąca w tym przedziale, to f’(x)
0 dla każdej liczby x z przedziału (a, b).b) Funkcja f jest malejąca w tym przedziale, to f’(x)
0 dla każdej liczby x z przedziału (a, b).Niech funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b). Funkcja f jest stała w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x) = 0 dla każdej liczby x z przedziału (a, b).
Przykład 1
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji 
.. Liczymy pochodną i
przyrównujemy ją do 0:
0
0
UWAGA: Jeśli funkcja rośnie w dwóch to nie oznacza, że
rośnie w sumie tych przedziałów.
UWAGA: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale 
oraz:
a) Funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b), to jest również
rosnąca w przedziale .
b) Funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b), to jest również
malejąca w przedziale .
Wniosek: Funkcja f jest rosnąca w przedziale 
, 
oraz malejąca w przedziale 
.
Zadania do zrobienia
1. Wyznacz maksymalne przedziały
monotoniczności funkcji 
a) 
b) 
Odp. a) funkcja 
.
b) funkcja 
2. Wyznacz maksymalne przedziały
monotoniczności funkcji
a) 
b) 
Odp. a) funkcja 
.
b) funkcja 
