Omówmy szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń:

Przykład 1
Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można zbudować ze zbioru cyfr ?

Naszkicujmy niepełne drzewko przedstawiające poszczególne etapy danego wydarzenia (kolejno wybór cyfry tysięcy, setek, dziesiątek i jedności):

Kolejność wyboru cyfr jest istotna, gdyż żadna cyfra nie może się powtarzać. Łatwo zauważyć, że każda z cyfr pojawi się w każdej liczbie czterocyfrowej. Podobnie jak we wcześniejszych przykładach korzystamy z reguły mnożenia, wiedząc, że cyfrę tysięcy możemy wybrać na cztery sposoby, cyfrę setek na trzy, dziesiątek na dwa i jedności na jeden:

Wniosek: Można utworzyć 24 takie liczby.
UWAGA: Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od n do 1 nazywamy silnią i oznaczamy jako: n!.

 

Przykład 2
Omówmy sposób obliczania silni w zadaniach posługując się kilkoma przykładami:

a)    
b)    
c)    
d)    

Przykład 3

Sześcioro przyjaciół: Ania, Weronika, Michał, Dorota, Maria i Magdalena pojechali na szkolną wycieczkę do teatru. Muszą oni wybrać sześć kolejnych miejsc w jednym rzędzie. Oblicz na ile sposobów mogą zająć te miejsca (w dowolny sposób) i oblicz na ile sposobów mogą zająć te miejsca tak, aby Maria i Magdalena siedziały obok siebie?

Obliczmy na ile sposobów można zająć te miejsca w dowolny sposób. Pierwsze miejsce w teatrze może być zajęte na 6 sposobów, drugie na 5, trzecie na 4, czwarte na 3, piąte na 2 i szóste na 1. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich takich sposobów zajęcia poszczególnych miejsc jest: .

Sprawdźmy, na ile sposobów mogą zająć te miejsca, w taki sposób, że Maria i Magdalena siedzą obok siebie. Zwróć uwagę na ile sposobów możemy wybrać dwa będące w bezpośrednim sąsiedztwie siedzenia, jeśli mamy sześć miejsc w jednym rzędzie:
(,,  ,  ,  ,  )
(  ,,,  ,  ,  )
(  ,  ,,,  ,  )
(  ,  ,  ,,,  )
(  ,  ,  ,  ,,)

Widzimy, że takich możliwości jest 5. Musimy mieć jednak na uwadze, że Maria i Magdalena mogą zasiąść w dowolnej kolejności (najpierw Maria później Magdalena lub na odwrót). Takich możliwości wyboru miejsc (pod względem kolejności) jest 2. Całą resztę miejsc możemy obsadzić na  sposobów. Szukaną przez nas liczbą jest zatem: .

 

Zadania do zrobienia

1. Oblicz:

a)

b)

Odp. a) 12

b) 8,1

 

2. Na ile sposobów można ustawić 3 osoby w szeregu?

Odp. Na 6 sposobów.

 

3. W zespole tanecznym jest 7 dziewcząt i 7 chłopców. Każda dziewczynka ma tańczyć z chłopcem. Ile jest różnych możliwości utworzenia 7 par tanecznych?

Odp. 5040 możliwości.

4. Mamy 5 książek, w tym książki A i B. Ustawiamy je losowo na pustej półce, jedna obok drugiej. Na ile sposobów można  ustawić je tak, aby:

a) książki A i B nie stały obok siebie

b) pomiędzy książkami A i B stały dwie inne książki?

Odp. a) 72

b) 24

 

4. Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewcząt, tak, aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?

Odp. 28 800

5. W liceum uczą się po  4 klasy pierwsze, drugie i trzecie. Na ile sposobów można położyć na biurku jeden na drugim dzienniki lekcyjne tych klas, jeśli:

a) na samym spodzie mają leżeć wszystkie dzienniki klas pierwszych

b) na samej górze leżą dzienniki klas „A” niżej dzienniki klas „B”, jeszcze niżej dzienniki klas „C” i najniżej dzienniki klas „D”?

Odp. a) 967 680

b) 1296