Spójrzmy na częstotliwość występowania poszczególnych liter zawartych w słowie AUTOSTRADA. Widzimy, że w wyrazie tym zawarte są trzy litery A, dwie litery T i po jednej literze U,O,S,R,D. Do obsadzenia mamy 10 liter:

Zacznijmy od wybrania 3 miejsc dla litery A. Możemy to zrobić na  sposobów.
Z pozostałych 7 miejsc wybieramy 2 miejsca dla litery T.  Mamy  takich możliwości.
Z pozostałych 5 miejsc wybieramy jedno na literę U, z pozostałych 4 jedno na literę O, z trzech – na literę S, z dwóch – na literę R i na ostatnim miejscu obsadzamy literę D.

Podsumowując, liczba szukanych przez nas różnych ciągów literowych wynosi:

Przykład 2
Klasa liczy 10 dziewczynek i 8 chłopców. Na ile sposobów możemy wybrać z tej klasy czteroosobową delegację, jeśli ma się znajdować w niej co najmniej jedna dziewczynka?

Ten przykład możemy w prosty sposób wyliczyć, wyznaczając liczbę wszystkich możliwych delegacji i odejmując od tej liczby liczbę delegacji złożonych wyłącznie z chłopców (jest to jedyny przypadek, który musimy wykluczyć).

Łączna liczba delegacji wynosi: .
Liczba delegacji złożonych wyłącznie z chłopców wynosi: .

Przykład 3

Wypiszmy każdy z przypadków:

I.    Wśród cyfr jest szóstka i cztery zera. Cyfra stojąca na pierwszym miejscu nie może być zerem. W takim razie istnieje tylko 1 taka liczba (Jest nią liczba 60000).
II.    Wśród cyfr jest piątka, jedynka i trzy zera. W takim razie pierwsze miejsce możemy obsadzić na dwa sposoby, a resztę miejsc na cztery sposoby. Takich liczb jest więc 8.
III.    Wśród cyfr jest czwórka, dwójka i trzy zera. Analogicznie z przykładem I takich liczb jest 8.
IV.    Wśród cyfr jest czwórka, dwie jedynki i dwa zera. Jeżeli na pierwszym miejscu stoi czwórka, wówczas resztę miejsc wybierzemy na  sposobów, a jeśli na pierwszym miejscu stoi jedynka wówczas resztę miejsc obsadzimy na  sposobów. Mamy zatem 18 takich liczb.
V.    Wśród cyfr są dwie trójki i trzy zera. Mamy 4 takie liczby.
VI.    Wśród cyfr jest trójka, dwójka, jedynka i dwa zera. Pierwsze miejsce wybieramy na trzy sposoby, a resztę na  sposobów. Mamy 36 takich liczb.
VII.    Wśród cyfr jest trójka, trzy jedynki i zero. Mamy  takich liczb.
VIII.    Wśród cyfr są trzy dwójki i dwa zera. Takich liczb jest
IX.    Wśród cyfr są dwie dwójki, dwie jedynki i zero. Mamy  takich liczb.
X.    Wśród cyfr jest dwójka i cztery jedynki. Mamy  takich liczb.

Wniosek:

Przykład 4

Aby liczba była podzielna przez 5 jej cyfra jedności musi być równa 0 lub 5. Ponadto szukana liczba jest większa od 2001. Pierwszą liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba 2005 a ostatnią 9995. Jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie na dwa sposoby: kombinatorycznie lub ze wzoru na ciąg arytmetyczny.

I.    Aby rozwiązać to zadanie w sposób kombinatoryczny musimy rozpatrzeć dwa rozłączne przypadki dla liczby jedności.

Jeśli liczba jedności jest równa 0 wówczas: liczbę tysięcy możemy wybrać na 8 sposobów, a liczbę setek i dziesiątek na 10. Liczymy wszystkie możliwe takie kombinacje cyfr i odejmujemy jeden szczególny przypadek (tj. liczbę 2000, która jest mniejsza od 2001): .

Jeśli liczba jedności jest równa 5 wówczas: liczbę tysięcy możemy wybrać na 8 sposobów, a liczbę setek i dziesiątek na 10. Liczymy wszystkie możliwe takie kombinacje cyfr (nie musimy nic odejmować, gdyż każda liczba tego typu spełnia założenia zadania): .

Aby otrzymać ostateczne rozwiązanie sumujemy dwa przypadki: , i ta liczba jest już odpowiedzią do naszego przykładu.

II.    Jak się okazuje, to zadanie można rozwiązać w zgoła inny sposób, to znaczy skorzystać ze wzoru na ciąg arytmetyczny, jako że każda spełniająca wymogi zadania liczba jest n-tym wyrazem ciągu arytmetycznego o reszcie r = 5. Jak już ustaliliśmy pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 2005 a ostatnią 9995. Liczymy ilowyrazowy jest to ciąg:

Jest 1599 czterocyfrowych liczb podzielnych przez 5 i większych od 2001.

Zadania do zrobienia

1. Ile różnych wyrazów, mających sens lub nie, można ułożyć, przestawiając litery wyrazu:

a) TEMAT

b) AGAWA

Odp. a) 60

         b) 20

2. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, …, 11} losujemy jednocześnie trzy. Ile jest możliwych wyników losowania, tak aby:

a) suma wylosowanych liczb była nieparzysta

b) iloczyn wylosowanych liczb był nieparzysty

c) iloczyn wylosowanych liczb był parzysty

d) iloczyn wylosowanych liczb był podzielny przez 10?

Odp. a) 80

          b) 20

           c) 145

           d) 71