1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Doświadczenie losowe

Z pewnością niejednokrotnie zastanawiałeś się nad prawdopodobieństwem zajścia pewnego zdarzenia lub zjawiska. Biorąc udział w loterii interesuje nas jaką szansę mamy na wygraną, oglądając zawody piłkarskie typujemy która drużyna z większym prawdopodobieństwem może wygrać, a w przygotowaniach do szkolnej kartkówki typujemy, jaki rodzaj zadania ma największą szansę na pojawienie się. W tym dziale poznasz matematyczny opis tego typu zjawisk losowych i dowiesz się w jaki sposób wyliczyć ich prawdopodobieństwo zajścia.

Doświadczenie losowe to powtarzalny eksperyment, którego dokładnego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć, lecz którego wyniki są nam znane (a więc możemy ocenić prawdopodobieństwo ich zajścia). Wyniki te nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a zbiór tych zdarzeń – przestrzenią zdarzeń elementarnych, oznaczany grecką literą Ω.

 
Przykład 1
Wykonano doświadczenie polegające na jednokrotnym rzucie kostką o sześciu oczkach. Wyznacz Ω.


Oznaczmy poszczególne wyniki doświadczenia w następujący sposób:
1.    Zdarzenie elementarne w którym wypada jedno oczko,
2.    Zdarzenie elementarne w którym wypadają dwa oczka,
3.    Zdarzenie elementarne w którym wypadają trzy oczka
4.    Zdarzenie elementarne w którym wypadają cztery oczka
5.    Zdarzenie elementarne w którym wypada pięć oczek
6.    Zdarzenie elementarne w którym wypada sześć oczek


W takim razie zbiór przestrzeń zdarzeń elementarnych wynosi: Ω


Przykład 2
Wykonano doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie monetą. Wyznacz Ω.


Poszczególne wyniki doświadczenia będziemy oznaczać w taki sposób, że:
1.    Jeśli wypadł orzeł to zdarzenie elementarne opisujemy literką O.
2.    Jeśli wypadła reszka to zdarzenia elementarne opisujemy literką R.


Wówczas Ω.

Przykład 3
Wykonano doświadczenie polegające na wyborze 8 losowych kart spośród talii złożonej z 50 kart. Wyznacz Ω.


I.    Załóżmy, że kolejność wylosowania kart nie ma znaczenia. W takim przypadku zdarzenia elementarne są 8-elementowymi podzbiorami talii kart. Zapisujemy:

Ω to zbiór wszystkich 8-elementowych kombinacji zbioru stworzonego z 50 kart.

II.    Załóżmy, że kolejność wylosowania kart ma znaczenie. Wówczas zdarzenia elementarne są 8-wyrazowymi ciągami o różnych wyrazach. W takim razie:
Ω to zbiór wszystkich 8-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru stworzonego z 50 kart.


Zadania do zrobienia


1. Doświadczenie losowe polega na rzucie trzema rozróżnialnymi monetami. Wypisz zdarzenia elementarne dla tego doświadczenia.

Odp. np.  = {(O, O, O), (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O), (R, R, O),(R, O, R), (O, R, R), (R, R, R)}.


2.  Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Odp. np. Ω = jest to zbiór wszystkich pięcioelementowych kombinacji zbioru złożonego z 52 kart.


3. Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń losowych:

a) losowanie kolejno ze zwracaniem trzech liter ze zbioru {A, B, C, D, E}

b) losowanie kolejno bez zwracania trzech liter ze zbioru {A, B, C, D, E, F}.

Odp. a) Ω = { :  :      {A, B, C, D, E}

b) Ω = { ::    {A, B, C, D, E, F} dla .


4. Bartek i Hubert grają w pewną grę. Każdy w swojej kolejce wykonuje rzut trzema monetami o różnych nominałach: 10 gr, 20 gr, 50 gr i zapisuje na kartce poszczególne nominały lub wpisuje dla danej monety wartość 0, jeśli wypadł orzeł. Wypisz wszystkie możliwe wyniki takiego rzutu. Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia?

Odp. 8.