Doświadczenie losowe

Z pewnością niejednokrotnie zastanawiałeś się nad prawdopodobieństwem zajścia pewnego zdarzenia lub zjawiska. Biorąc udział w loterii interesuje nas jaką szansę mamy na wygraną, oglądając zawody piłkarskie typujemy która drużyna z większym prawdopodobieństwem może wygrać, a w przygotowaniach do szkolnej kartkówki typujemy, jaki rodzaj zadania ma największą szansę na pojawienie się. W tym dziale poznasz matematyczny opis tego typu zjawisk losowych i dowiesz się w jaki sposób wyliczyć ich prawdopodobieństwo zajścia.

Doświadczenie losowe to powtarzalny eksperyment, którego dokładnego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć, lecz którego wyniki są nam znane (a więc możemy ocenić prawdopodobieństwo ich zajścia). Wyniki te nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a zbiór tych zdarzeń – przestrzenią zdarzeń elementarnych, oznaczany grecką literą Ω.

Przykład 1
Wykonano doświadczenie polegające na jednokrotnym rzucie kostką o sześciu oczkach. Wyznacz Ω.

Oznaczmy poszczególne wyniki doświadczenia w następujący sposób:
1.    Zdarzenie elementarne w którym wypada jedno oczko,
2.    Zdarzenie elementarne w którym wypadają dwa oczka,
3.    Zdarzenie elementarne w którym wypadają trzy oczka
4.    Zdarzenie elementarne w którym wypadają cztery oczka
5.    Zdarzenie elementarne w którym wypada pięć oczek
6.    Zdarzenie elementarne w którym wypada sześć oczek

W takim razie zbiór przestrzeń zdarzeń elementarnych wynosi: Ω

Przykład 2
Wykonano doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie monetą. Wyznacz Ω.

Poszczególne wyniki doświadczenia będziemy oznaczać w taki sposób, że:
1. Jeśli wypadł orzeł to zdarzenie elementarne opisujemy literką O.
2. Jeśli wypadła reszka to zdarzenia elementarne opisujemy literką R.

Wówczas Ω.

Przykład 3
Wykonano doświadczenie polegające na wyborze 8 losowych kart spośród talii złożonej z 50 kart. Wyznacz Ω.

I. Załóżmy, że kolejność wylosowania kart nie ma znaczenia. W takim przypadku zdarzenia elementarne są 8-elementowymi podzbiorami talii kart. Zapisujemy:

Ω to zbiór wszystkich 8-elementowych kombinacji zbioru stworzonego z 50 kart.

II. Załóżmy, że kolejność wylosowania kart ma znaczenie. Wówczas zdarzenia elementarne są 8-wyrazowymi ciągami o różnych wyrazach. W takim razie:
Ω to zbiór wszystkich 8-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru stworzonego z 50 kart.

Zadania do zrobienia

1. Doświadczenie losowe polega na rzucie trzema rozróżnialnymi monetami. Wypisz zdarzenia elementarne dla tego doświadczenia.

Odp. np. = {(O, O, O), (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O), (R, R, O),(R, O, R), (O, R, R), (R, R, R)}.

2. Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Odp. np. Ω = jest to zbiór wszystkich pięcioelementowych kombinacji zbioru złożonego z 52 kart.

3. Zapisz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla następujących doświadczeń losowych:

a) losowanie kolejno ze zwracaniem trzech liter ze zbioru {A, B, C, D, E}

b) losowanie kolejno bez zwracania trzech liter ze zbioru {A, B, C, D, E, F}.

Odp. a) Ω = { : : {A, B, C, D, E}

b) Ω = { :: {A, B, C, D, E, F} dla .

4. Bartek i Hubert grają w pewną grę. Każdy w swojej kolejce wykonuje rzut trzema monetami o różnych nominałach: 10 gr, 20 gr, 50 gr i zapisuje na kartce poszczególne nominały lub wpisuje dla danej monety wartość 0, jeśli wypadł orzeł. Wypisz wszystkie możliwe wyniki takiego rzutu. Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia?

Odp. 8.

Baza wiedzy

Doświadczenie losowe

Zadania do zrobienia