1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Określanie prawdopodobieństwa

Rozważmy rzut kostką do gry o sześciu oczkach. Wiemy już, że Ω. Załóżmy że doświadczenie powtarzamy 10-krotnie, z czego 2-krotnie wypada jedno oczko i 3-krotnie wypada pięć oczek. W takim razie częstość otrzymania ścianki z jednym oczkiem wynosi , a częstość otrzymania ścianki z pięcioma oczkami wynosi . Jak doskonale wiemy rezultatem powtórzenia tego doświadczenia mogą być z goła inne liczby i tak przykładowo pięć oczek może nie wypaść wcale. Jeżeli jednak wykonamy wystarczająco dużo doświadczeń tego typu to zauważymy, że częstość otrzymania ścianki z jednym oczkiem jak i z pięcioma oczkami będzie przybliżać się do wartości . Na podstawie tego doświadczenia możemy zauważyć, że:

I.    Częstość jest liczbą należącą do przedziału  gdzie częstość zdarzenia pewnego wynosi 1.
II.    Jeśli dwa zdarzenia się wykluczają (np. wypadła ścianka z jednym oczkiem i wypadła ścianka z pięcioma oczkami) wówczas częstość sumy tych zdarzeń to suma częstości tych zdarzeń (

Definicja 1
Prawdopodobieństwem określonym na skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω nazywamy taką funkcję P, która każdemu zdarzeniu A,  Ω, przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P(A) w taki sposób, że:
(A1)                    
(A2)                    
(A3)                     Jeśli  i  to


Warunki A1, A2 oraz A3 to aksjomaty prawdopodobieństwa.
Para (Ω, P) to przestrzeń probabilistyczna, czyli matematyczny opis pewnego doświadczenia losowego.

Twierdzenie 1 (własności prawdopodobieństwa)
Jeśli P jest prawdopodobieństwem określonym w przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω oraz  Ω, to:
1)    
2)    Jeśli , to
3)    
4)    
5)    
6)    Jeśli zdarzenia  Ω wykluczają się parami to 


Przykład 1
Wiemy, że  Ω,  oraz . Dowiedź, że zdarzenia A i B mogą się wykluczać.


Zgodnie z twierdzeniem 1 jeśli zdarzenia A i B się wykluczają to . Sprawdźmy czy równość ta może zachodzić:

, a więc zdarzenia A i B mogą się wykluczać, pod warunkiem że , ckd.


Przykład 2
Wiemy, że  Ω Oblicz .


W oparciu o poznane własności prawdopodobieństwa liczymy wartość wyrażenia :




Ostatecznie otrzymujemy, że:


Twierdzenie 2
Jeśli P jest prawdopodobieństwem określonym w przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω oraz  Ω, to


Przykład 3

Wiemy, że  Ω Oblicz  wiedząc że sumą zdarzeń A,B,C jest przestrzeń Ω.


Korzystamy z twierdzenia 2 i poznanych aksjomatów prawdopodobieństwa:





, a więc zdarzenia A,B oraz C nie mogą zajść jednocześnie.


Zadania do zrobienia


1. Dane są zdarzenia  . Wiadomo, że i  . Oblicz

Odp.   

.


 2. Kostka sześcienna została wykonana z materiału, który nie jest jednorodny. Ścianka z jednym oczkiem wypada dwa razy częściej niż każda z pozostałych ścianek. Wykonujemy jeden rzut tą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania nieparzystej liczby oczek.

Odp. .

 

3. W pudełku znajdują się kartki z różnymi numerami. Prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem nie większym niż 10 jest równe , a prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem nie mniejszym niż 10 jest równe . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kartki z numerem 10.

Odp.  .