Rozważmy doświadczenie losowe polegające na dwukrotnym rzucie sześcienną symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymamy liczbę oczek większą niż przy drugim rzucie pod warunkiem że liczba oczek w pierwszym rzucie jest większa lub równa 5 ?

A – „w pierwszym rzucie większa ilość oczek niż w drugim”
B – „w pierwszym rzucie liczba oczek jest większa lub równa 5”

Jeśli w pierwszym rzucie liczba oczek jest większa lub równa 5 to oznacza że musi być równa 5 lub 6, a jeśli dodatkowo liczba ta ma być większa niż liczba oczek w drugim rzucie to w drugim rzucie musi wypaść 1,2,3,4 lub 5 pod warunkiem, że w pierwszym rzucie wypadła 6. Zapisujemy:

Można powiedzieć że nie interesuje nas cały zbiór Ω (czyli 36 różnych wariantów) gdyż mamy postawiony warunek, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest większa lub równa 5. W takim razie będziemy rozpatrywać prawdopodobieństwo zdarzenia w zbiorze ΩB:

Niech AB będzie wydarzeniem „A pod warunkiem, że B” czyli tym co nas interesuje z punktu widzenia zadania.
Ostatecznie:

Możemy uogólnić że:

Definicja 1
Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia wydarzenia A, pod warunkiem że zajdzie zdarzenie B, gdzie  Ω i  nazywamy liczbę

Mamy więc dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa warunkowego zajścia zdarzenia A, pod warunkiem że zajdzie zdarzenie B:
I.    Ograniczenie przestrzeń zdarzeń elementarnych do tych sprzyjających zdarzeniu B i obliczenie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A ze wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne, oczywiście w tej samej przestrzeni.
II.    Nie zmienianie przestrzeni zdarzeń elementarnych i skorzystanie ze wzoru z definicji 1:

.

Twierdzenie 1
Jeśli  Ω i , to funkcja, która dowolnego zdarzeniu A,  Ω przyporządkowuje liczbę , spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Przykład 1
Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz z jakim prawdopodobieństwem wylosowana karta będzie królem jeśli wiadomo, że jest kierem ?

Oznaczamy zdarzenia:
A – „Wylosowana karta jest królem”
B – „Wylosowana karta jest kierem”

Ograniczmy przestrzeń zdarzeń elementarnych do tych sprzyjających zdarzeniu „wylosowana karta jest kierem”:
 – zbiór wszystkich jednoelementowych kombinacji zbioru 13 kierów

 – zbiór królów kier

Ostatecznie otrzymujemy że:


Przykład 2
Zbudowano pewną liczbę o 2020 cyfrach. Z jakim prawdopodobieństwem suma tych cyfr jest równa 4 pod warunkiem że ostatnia z nich jest większa od cyfry „1"?

Oznaczmy zdarzenia:
 – „wylosowano liczbę o 2020 cyfrach których suma jest równa 4”
 – „wylosowano parzystą liczbę o 2020 cyfrach”

Zdarzenie elementarne B zachodzi wówczas gdy pierwsza cyfra jest różna od zera a ostatnia jest większa od 1, zatem:

Teraz określmy kiedy zachodzi jednocześnie zdarzenie A i B. W tym celu wypiszmy wszystkie możliwe kombinacje cyfr których sumą jest cyfra 4:
I.    
II.    
III.    
IV.    
V.    

Wyróżniamy pięć takich przypadków ale tylko trzy z nich sprzyjają jednocześnie zdarzeniu A i B. Chodzi oczywiście o przypadki II., III. oraz IV. (w przypadku I. ostatnia cyfra nie może być większa od 1, podobnie sprawa wygląda w przypadku V. jako że na pierwszym miejscu musi stać cyfra „4” a na ostatnim cyfra „0”). Dla przypadków II. oraz IV. ostatnia cyfra to „2”,a dla przypadku III. ostatnia cyfra to „3” więc:

Skorzystajmy ze wzoru z twierdzenia 1:

Otrzymujemy że prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi .

Zadania do zrobienia