1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Załóżmy, że zdarzenia B1,B2,B3 są parami wykluczające się i wypełniają przestrzeń Ω -  Ω. To oznacza, że pary  również się wykluczają, a więc . Na podstawie wiedzy ze wcześniejszego tematu:



A więc otrzymujemy, że:


Twierdzenie 1 (o prawdopodobieństwie całkowitym)
Niech A będzie zdarzeniem zawartym w przestrzeni Ω, zdarzenia  będą zdarzeniami zawartymi w tej samej przestrzeni Ω, spełniającymi warunki:
1)     dla
(czyli zdarzenia  wykluczają się parami)
2)     dla
3)     Ω
To
(*)  

Wzór (*) nazywamy wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.

Twierdzenie 2
Niech A będzie zdarzeniem zawartym w przestrzeni Ω, zdarzenia  będą zdarzeniami zawartymi w tej samej przestrzeni Ω, spełniającymi warunki:
1)     dla
(czyli zdarzenia  wykluczają się parami)
2)     dla
3)     Ω
To
(**)   , gdzie

Wzór (**) nazywamy wzorem Beyesa.

Przykład 1
W jednym pudełku znajduje się 5 kul czerwonych i 2 zielone, w drugim zaś 8 czerwonych i 5 zielonych. Wylosowano pewną kulę z pierwszego pudelka i umieszczono ją w drugim pudełku. Następnie wylosowano kulę z drugiego pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo że kula ta będzie koloru zielonego ?


Oznaczmy interesujące nas zdarzenie literką A (A – wylosowana kula przy drugim losowaniu jest koloru zielonego). Wyróżniamy oczywiście dwa przypadki:

I.    W pierwszym rzucie wypada kula czerwona. W takim przypadku w drugim pudełku znajdzie się 9 kul czerwonych i 5 zielonych.
II.    W pierwszym rzucie wypada kula zielona. W takim przypadku w drugim pudełku znajdzie się 8 kul czerwonych i 6 zielonych.

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym bezpośrednio liczymy:

Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi



Zadania do zrobienia


1. W każdym z trzech pojemników znajduje się po 10 opakowań pewnego produktu, przy czym w pierwszym pojemniku jest jedno opakowanie uszkodzone, w drugim są dwa takie opakowania, a w trzecim – trzy. Mamy wylosować dwa opakowania. Możemy to zrobić na dwa sposoby:

1) wszystkie opakowania zsypujemy do jednego pudełka i z niego losujemy jednocześnie dwa opakowania;

2) najpierw losujemy pudełko, a następnie losujemy dwa opakowania z tego pudełka.

Przy każdym sposobie losowania prawdopodobieństwo wylosowania dwóch opakowań uszkodzonych jest większe?

Odp. przy pierwszym sposobie losowania.


2. Sklep sprzedaje żarówki wyprodukowane w firmach O i P, przy czym w każdej z tych firm żarówki wadliwe stanowią odpowiednio 1% i 4% produkcji. Wyznacz stosunek liczby żarówek wyprodukowanych przez firmę O do liczby żarówek wyprodukowanych przez firmę P, sprzedawanych w tym sklepie tak, aby prawdopodobieństwo kupienia żarówki wadliwej (przy losowym jej zakupie) było nie większe niż 0,02.

Odp.  równy 2 lub większy od 2.