Doskonale zapoznani z definicją prawdopodobieństwa warunkowego  jesteśmy w stanie zauważyć, że informacja o zajściu zdarzenia B często ma bezpośredni wpływ na zajście zdarzenia A, co z kolei oznacza że . Może jednak zajść taka sytuacja, że:

,              gdzie

co oznacza tyle, że zdarzenie B nie wpływa na zdarzenie A – czyli zdarzenia te są niezależne. Zgodnie z definicją prawdopodobieństwa warunkowego możemy zapisać:

Zwróć uwagę że jeśli zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B to również zdarzenie B jest niezależne od zdarzenia A (pod warunkiem że ):

Warunek  jest symetryczny dla A i B więc nie wymaga dodatkowych założeń, tak jak reszta równań tożsamościowych.

Definicja 1
Dwa zdarzenia A, B zawarte w przestrzeni Ω nazywamy zdarzeniami niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

UWAGA: Zdarzenia niezależne nie są tożsame ze zdarzeniami wykluczającym się. Zdarzenia wykluczające się A,B w przestrzeni Ω (pod warunkiem że  i ) nigdy nie są niezależne gdyż zachodzi:

Więc:

Przykład 1

Zgodnie z definicją 1 sprawdźmy czy zachodzi równość :

Liczymy prawdopodobieństwo poszczególnych zdarzeń:

Wniosek: Zdarzenia A i B są niezależne.

Definicja 2
Zdarzenia  zawarte w przestrzeni Ω nazywamy zdarzeniami niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych k spośród nich  prawdopodobieństwo ich iloczynu jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw.

Przykład 2
Wykaż, że jeśli zdarzenia  są zawarte w przestrzeni Ω i są niezależne to zdarzenia  oraz C również są niezależne.

Z.           
 Ω



T.           

D.          
                            

Przykład 3

Wypiszmy poszczególne przypadki:
Ω

A

B






Wniosek: Zdarzenia A i B nie są niezależne.

Zadania do zrobienia