Przypomnijmy czym jest wektor i w jaki sposób liczymy jego długość. Jeśli dane mamy punkty  oraz B to wektorem  nazywamy parę liczb . Liczby te są współrzędnymi wektora , a znając jego współrzędne jesteśmy w stanie policzyć jego długość.

Przykład 1
Dane są punkty: A(4,5), B(8,1). Wyznacz współrzędne wektora  i jego długość.

Liczymy współrzędne wektora  i jego długość, mając na uwadze, że długość wektora jest równa długości odcinka tworzących go punktów:

Twierdzenie 1
Jeśli wektory niezerowe  i  są równe, to wektory  i :
1)    Są równoległe
2)    Mają te same zwroty
3)    Mają taką samą długość

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia 1:

Twierdzenie 2
Jeśli wektory niezerowe  i  są równoległe, mają te same zwroty i taką samą długość, to wektory  i  są równe.

Jeśli istnieje taka liczba , że:

i wektory  i  są różne od zera, to wektory te nazywamy wektorami równoległymi.

Przykład 2
Wyznacz wektor  przeciwny do wektora .

Twierdzenie 3
Jeśli wektory niezerowe  i  są przeciwne, to wektory  i :
1)    Są równoległe
2)    Mają przeciwne zwroty
3)    Mają taką samą długość

Jesteśmy w stanie wyprowadzić twierdzenie odwrotne do twierdzenia 3:

Twierdzenie 4
Jeśli wektory niezerowe  i  są równoległe, mają przeciwne zwroty i taką samą długość, to wektory  i  są przeciwne.

Przykład 3
Dane są wektory  i . Wyznacz wektor .

Różnica wektorów  i jest wektorem .

Twierdzenie 5
Środkiem odcinka AB, gdzie , jest punkt .

Przykład 4
Dane są punkty  i . Wyznacz punkt  należący do odcinka  w taki sposób, że

Warunek  jest równoważny zapisowi:

Niech . Zapisujemy:




Zatem szukany punkt Q ma współrzędne .

Zadania do zrobienia

Odp. a)