Dwa niezerowe wektory  i  mające wspólny początek wyznaczają na płaszczyźnie kartezjańskiej dwa kąty uzupełniające się do kąta pełnego.

Definicja 1
Niech dane będą niezerowe wektory  i . Kątem utworzonym przez dwa wektory  i  (kątem wektorów  i ) nazywamy kąt wypukły AOB, gdzie  i . Kąt ten oznaczamy symbolem

Taki kąt przedstawia następujący rysunek:

Ponadto jeśli mamy dwa niezerowe i równoległe wektory  i  mające zgodne zwroty to tworzą one kąt o mierze , a jeśli zwroty te są przeciwne to wektory tworzą kąt o mierze .

Twierdzenie 1
Dwa niezerowe wektory ,  tworzą taki kąt , że

UWAGA: Dowód twierdzenia 1 można przeprowadzić w oparciu o twierdzenie cosinusów i z „jedynki trygonometrycznej”.

Przykład 1
Dane są wierzchołki trójkąta ABC: . Oblicz:
a)    Miary kątów trójkąta ABC,
b)    Pole trójkąta ABC,
c)    Promień koła wpisanego w trójkąt ABC.

a)    Obliczmy współrzędne wektorów  i  oraz  i  i ich długość:

Oznaczmy miary kątów w trójkącie: . Na mocy twierdzenia 1 policzymy miary kątów w trójkącie:

Miarę ostatniego kąta wyliczymy z sumy miar kątów w trójkącie:

Wniosek: Miary kątów trójkąta ABC to:

b)    W podpunkcie a doszliśmy do wniosku, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. W takim przypadku możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta :

Pole trójkąta ABC jest równe

c)    Ponownie możemy skorzystać z jednego ze wzorów na pole trójkąta. Interesującym nas wzorem jest , gdzie  jest połową obwodu trójkąta ABC:





Promień koła wpisanego w trójkąt ABC jest równy

Dwa niezerowe wektory  i  nazywamy wektorami prostopadłymi  pod warunkiem że zachodzi:

W podobny sposób określimy wektory równoległe :

Twierdzenie 2
Jeśli  i , to:
a)    
b)    

Zadania do zrobienia