Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów
Dwa niezerowe wektory i mające wspólny początek wyznaczają na płaszczyźnie kartezjańskiej dwa kąty uzupełniające się do kąta pełnego.
Taki kąt przedstawia następujący rysunek:
Ponadto jeśli mamy dwa niezerowe i równoległe wektory i mające zgodne zwroty to tworzą one kąt o mierze , a jeśli zwroty te są przeciwne to wektory tworzą kąt o mierze .
UWAGA: Dowód twierdzenia 1 można przeprowadzić w oparciu o
twierdzenie cosinusów i z „jedynki trygonometrycznej”.
Przykład 1
Dane są wierzchołki trójkąta ABC: . Oblicz:
a) Miary kątów trójkąta ABC,
b) Pole trójkąta ABC,
c) Promień koła wpisanego w trójkąt ABC.
a) Obliczmy współrzędne wektorów i oraz i i ich długość:
Oznaczmy miary kątów w trójkącie: . Na mocy twierdzenia 1 policzymy
miary kątów w trójkącie:
Miarę ostatniego kąta wyliczymy z sumy miar kątów w
trójkącie:
Wniosek: Miary kątów trójkąta ABC to:
b) W podpunkcie a doszliśmy do wniosku, że trójkąt ABC jest
trójkątem prostokątnym. W takim przypadku możemy skorzystać ze wzoru na pole
trójkąta :
Pole trójkąta ABC jest równe
c) Ponownie możemy skorzystać z jednego ze wzorów na pole
trójkąta. Interesującym nas wzorem jest , gdzie jest połową obwodu trójkąta ABC:
Promień koła wpisanego w trójkąt ABC jest równy
Dwa niezerowe wektory i nazywamy wektorami prostopadłymi pod warunkiem że zachodzi:
W podobny sposób określimy wektory równoległe :
1. Oblicz sinus kąta
Odp.
2. Wyznacz miarę kąta
Odp.
3. Wyznacz wszystkie wartości parametru
Odp. .
4. Dane są wektory
Wykaż, że jeśli wektory