1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Równanie kierunkowe prostej

Jak dobrze wiemy wzór funkcji liniowej wyrażany jest wzorem , gdzie współczynnik  to współczynnik kierunkowy, a współczynnik  to wyraz wolny.

Definicja 1
Równaniem kierunkowym prostej nazywamy równanie mające postać

Współczynnik kierunkowy określa kąt nachylenia prostej względem osi OX (jest on równy tangensowi tego kąta). Wyraz wolny z kolei to punkt przecięcia prostej z osią OY.




I.    

II.    


Wyróżniamy również równanie kierunkowe prostej mające postać  (jeśli ). Prosta ta jest równoległa do osi OX i nachylona do osi OX pod kątem , gdyż .


UWAGA: Jeśli mamy podane co najmniej dwie informacje o funkcji liniowej to jesteśmy w stanie wyznaczyć jej postać (np. mając współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu należącego do tej prostej).


Przykład 1
Wyznacz równanie prostej nachylonej do osi OX pod kątem  i przechodzącej przez punkt .


Liczymy współczynnik kierunkowy:

I korzystamy z informacji o współrzędnych należącego do tej prostej punktu:


W takim razie równanie szukanej prostej ma postać:


UWAGA: Mając podane dwa punkty  i  przechodzące przez tą samą prostą możemy w prosty sposób policzyć jej współczynnik kierunkowy, mianowicie:


Przykład 2
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt  i tworzącej z osią OX kąt o mierze o dwa razy mniejszej od kąta jaki tworzy z tą osią prosta


Wyprowadźmy wzór na współczynnik kierunkowy interesującej nas prostej. Dla uproszczenia zgodnie z treścią zadania niech . Nas będzie interesował :








Skorzystajmy ze współrzędnych punktu A (przyjmujemy oznaczenia zgodnie z definicją 1):


W takim razie nasza prosta ma postać:  .


Zadania do zrobienia


1. Wyznacz równanie kierunkowe prostej  przechodzącej przez punkt P i nachylonej do osi OX pod kątem , jeśli:

a)

b)  ,)

Odp. a)

b)

 

2. Wyznacz równanie prostej  przechodzącej przez punkt , która tworzy z osią odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kąta, jaki tworzy z tą osią prosta , jeśli:

k:

Odp.  .

 

3.  W trójkącie dane są:  oraz środek ciężkości . Oblicz miarę kąta rozwartego  tego trójkąta.

Odp. .


4. W trójkącie  dany jest wierzchołek , środek  boku AB i wektor . Wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta .

Odp. .