Dane są dwie proste opisane za pomocą równań ogólnych:  oraz  oraz wektory  i  prostopadłe odpowiednio do prostych  i . Kąt pomiędzy tymi wektorami oznaczmy jako , gdzie . W takim razie:




Wiemy, że wektory  i  są prostopadłe do prostych  i  a to oznacza że kąt  jest równy jednemu z kątów utworzonych przez proste  i . Drugi z kątów ma miarę .

I.    Proste  i  są równoległe.
 lub
Wektory  i  są prostopadłe do równoległych prostych  i  (). Otrzymujemy że:

Twierdzenie 1
Proste o równaniach  oraz  są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy .

Przykład 1

Dana jest prosta . Wyznacz równanie prostej  równoległej do prostej  i przechodzącej przez punkt .

Skorzystajmy z twierdzenia 1:

Równanie prostej prostej  równoległej do prostej  zapisujemy w postaci:

Współczynnik  liczymy przez podstawienie współrzędnych punktu P:

Wniosek: Prosta  równoległa do prostej  i przechodząca przez punkt  opisana jest równaniem .

II.    Proste  i  są prostopadłe.

Wektory  i  są prostopadłe do prostopadłych prostych  i  (). Otrzymujemy że:

Twierdzenie 2
Proste o równaniach  oraz  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy .

Przykład 2
Dana jest prosta . Wyznacz równanie prostej  prostopadłej do prostej  i przechodzącej przez punkt .

Skorzystajmy z twierdzenia 2:

Równanie prostej prostej  równoległej do prostej  zapisujemy w postaci:

Współczynnik  liczymy przez podstawienie współrzędnych punktu P:

Wniosek: Prosta  prostopadła do prostej  i przechodząca przez punkt  opisana jest równaniem .

III.    Proste  i  przecinają się oraz nie są prostopadłe.

Wektory  i  tworzą kąt o mierze  utworzony przez proste  i  Otrzymujemy że:

Twierdzenie 3
Jeśli proste o równaniach  oraz  przecinają się pod kątem ostrym , to

Przykład 3
Dana jest prosta  w której zawiera się bok AC trójkąta ABC. Bok BC zawiera się w osi OY a bok AB leży na prostej  tworzącej z prostą  kąt  o mierze do której należy początek układu współrzędnych. Wyznacz równanie tej prostej .

Zapiszmy wzór prostej  wiedząc, że należy do niej punkt o współrzędnych (0,0):



Teraz skorzystajmy z twierdzenia 3 na mocy którego wyznaczymy wzór funkcji :


   lub  
   lub  
   lub  

Ostatecznie otrzymujemy że:

   lub  

Twierdzenie 4
Proste  oraz  są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy .

Twierdzenie 5
Proste  oraz , gdzie  i , są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

Twierdzenie 6
Jeśli proste o równaniach kierunkowych  oraz  tworzą kąt ostry , to

Zadania do zrobienia