Odległość punktu P od prostej k, gdzie , to długość odcinka prostopadłego do prostej k, którego jednym końcem jest punkt P a drugim punkt S leżący na tej prostej k. Jeśli  to odległość punktu P od prostej k wynosi zero. Taką odległość będziemy oznaczać jako

Twierdzenie 1
Odległość punktu  od prostej  opisanej równaniem , gdzie , wyraża się wzorem:

Przykład 1
Oblicz odległość punktu P(4,10) od prostych  i , jeśli:
a)    
b)    

Ad. a) Skorzystajmy z twierdzenia 1:

Wniosek: Odległość punktu P od prostej k wynosi 12.

Ad. b) Ponownie korzystamy z twierdzenia 1:

Wniosek: Odległość punktu P od prostej n wynosi .

Twierdzenie 2
Odległość między dwiema prostymi równoległymi  i  danymi równaniami ogólnymi  i , gdzie , wyraża się wzorem

Przykład 2 (***)
We wnętrzu trapezu ABCD znajduje się okrąg o środku w punkcie  a jego trzy boki zawarte są w prostych o równaniach ,  oraz . Pewien z boków jest nachylony do drugiego pod takim kątem , że  a współczynnik kierunkowy prostej w której zawiera się ten bok jest nieujemny. Wyznacz wzór ostatniej prostej opisującej ten trapez ABCD.

Aby wyznaczyć wzór prostej należącej do trapezu ABCD będziemy musieli najpierw ustalić jakiej długości jest promień okręgu weń wpisanego. Treść zadania nie określa jasno w której prostej zawiera się dany bok, ale łatwo można zauważyć że proste  oraz  są równoległe – to z kolei oznacza, że są one podstawami trapezu ABCD. Skorzystajmy z twierdzenia 2:



UWAGA: Mogliśmy też skorzystać z twierdzenia 1 jako że odległość punktu S od dowolnej z podanych prostych  jest szukanym przez nas promieniem r.

Oprócz tego wiemy, że jeden z boków jest nachylony do drugiego z boków pod kątem  w taki sposób że . Przedstawmy równania prostych w postaci kierunkowej:

Jak dobrze wiemy z treści zadania bok ten nie może zawierać się w prostej o współczynniku kierunkowym ujemnym (czyli prosta ta nie jest opisana równaniem prostej ). Musi więc to być ostatnia czwarta prosta , której równania nie znamy. Wyznaczmy jej współczynnik kierunkowy. Przyjmujemy typowe oznaczenia dla funkcji liniowej czyli :

Zgodnie z założeniem wykluczamy pierwszą z opcji, a więc otrzymujemy że . Odległość tej prostej od środka okręgu jest równa promieniowi tego okręgu więc . Prosta  jest więc opisana równaniem  lub . Sporządźmy poglądowy rysunek który pozwoli nam wykluczyć jedną z opcji:

Widzimy na rysunku że aby prosta  wyznaczała ten trapez to musi ona leżeć „pod” środkiem okręgu , czyli .
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

Zadania do zrobienia