Okrąg o środku w punkcie S oraz promieniu r, to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny P, których odległość od środka S jest równa promieniowi r ( Jesteśmy w stanie wyznaczyć równanie wszystkich takich punktów, które leżą w odległości r od tego punktu S a więc określić równanie okręgu.

Liczymy długość wektora :

Obie strony równania są nieujemne, więc możemy podnieść je stronami do kwadratu:
, gdzie

Takie równanie nazywamy równaniem kanonicznym okręgu. W łatwy sposób jesteśmy z niego odczytać gdzie na płaszczyźnie znajduje się jego środek oraz jaką długość ma promień.

Równaniem okręgu w postaci zredukowanej nazywamy z kolei równanie o postaci , gdzie .

Przykład 1

Wykaż że równanie  opisuje okrąg. Wyznacz współrzędne jego środka i długość promienia.

Przyjmijmy oznaczenia:

Jak już ustaliliśmy aby równanie opisywało okrąg musi zachodzić . Sprawdźmy czy taka zależność zachodzi:

Widzimy że nierówność jest spełniona a więc równanie  rzeczywiście opisuje okrąg. Sprowadźmy to równanie do postaci kanonicznej:

Wniosek: Środek okręgu ma współrzędne  a promień ma długość 5.

Przykład 2

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty  i , którego środek zawarty jest w prostej o równaniu .

I.    Sprowadźmy równanie prostej  do postaci kanonicznej:

Możemy zatem powiedzieć że środek okręgu ma współrzędne . Interesujący nas okrąg opisany jest równaniem:

Wiemy że punkty A i B należą do tego okręgu zatem:

Środek okręgu ma współrzędne . Podstawiamy  pod dowolne z równań:

Ostatecznie otrzymujemy że równanie okręgu ma postać:

II.    Wiemy że punkty A i B są równoodległe względem środka okręgu a odległość ta jest równa jego promieniowi. Wyliczmy ten promień wiedząc że środek okręgu musi mieć współrzędne :







Otrzymujemy że równanie okręgu ma postać:

Przykład 3
Oblicz pole figury opisanej nierównością .

Nierówność  zapiszmy w równoznacznej postaci:

Oczywiście równanie  jest równaniem opisującym okrąg o środku w punkcie (7,0) i promieniu równym 10. Symbol  informuje nas o tym, że każdy punkt wewnątrz tego okręgu należy do interesującej nas figury. Tą figurą jest oczywiście koło, którego pole opisuje wzór , gdzie . Ostatecznie otrzymujemy, że pole naszej figury jest równe .

Zadania do zrobienia

1.  Napisz postać kanoniczną równania okręgu o środku  i promieniu , jeśli:

a)

b)

Odp. a)

         b)

2. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem 

Odp.

3. Napisz równanie ogólne wspólnej osi symetrii okręgów   oraz

Odp. 

4. Napisz równanie okręgu  o promieniu , współśrodkowego z okręgiem : . Oblicz pole P pierścienia kołowego ograniczonego okręgami i .

Odp: .

5. Prosta  przecina parabolę o równaniu  w punktach  i . Napisz równanie okręgu o promieniu , którego cięciwą jest odcinek

Odp.