Przykład 1

Określ położenie prostej  względem okręgu .

Sprowadźmy równanie okręgu  do postaci kanonicznej:

Widzimy że współrzędne środka wynoszą  a promień . Obliczmy odległość punktu  od prostej :

Odległość punktu  od prostej  jest mniejsza niż długość promienia, zatem stwierdzamy że prosta  jest sieczną tego okręgu.

Przykład 2
Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi OX i do prostej  o promieniu  i środku leżącym na prostej o współczynniku kierunkowym dodatnim.

Okrąg jest styczny jednocześnie do osi OX i do prostej , to oznacza że jego środek leży na dwusiecznej  kąta wyznaczonego przez oś OX i przez prostą  (zgodnie z właściwością dowolnego trójkąta opisanego na płaszczyźnie). Oznaczmy kąt między prostą  a osią OX jako , wówczas:

Środek szukanego okręgu musi leżeć na prostej . Wyznaczmy punkt wspólny osi OX oraz prostej  co umożliwi nam wyznaczenie wyrazu wolnego szukanej prostej:

Podstawiamy punkt o współrzędnych  pod równanie prostej :

Ostatecznie otrzymujemy że środek okręgu ma współrzędne . Sprawdźmy kiedy odległość środka okręgu od osi OX jest równa 6:




Wiemy że  lub .

Wniosek: Warunki zadania spełniają okręgi:  oraz .

Przykład 3
Zbadaj wzajemne położenie prostej  względem okręgu o równaniu  pod warunkiem że jego promień jest liczbą naturalną większą od 6 i .

Sprowadźmy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

Wiemy że kwadrat dowolnej liczby w zbiorze liczb rzeczywistych jest nieujemny a więc prawa strona równania jest mniejsza bądź równa 49, a zgodnie z treścią zadania również większa od 36. Oznacza to tyle że promień jest większy od 6 ale mniejszy bądź równy liczbie 7. Oczywiście więc równanie okręgu ma postać , którego środkiem jest punkt  a długością promienia . Wyznaczmy odległość prostej  względem środka okręgu :

Wniosek: Prosta  jest rozłączna z okręgiem .

Zadania do zrobienia