Dane są dwa okręgi  oraz , wówczas:
a)    Są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy
b)    Są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy
c)    Przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy
d)    Są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy
e)    Są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy .

Przykład 1

Określ wzajemne położenie okręgów  oraz .

Sprowadźmy równania okręgów  i  do postaci kanonicznej:

Stwierdzamy że środek okręgu  ma współrzędne  a promień , a środek okręgu  ma współrzędne  a promień . Obliczmy odległość między środkami tych okręgów:

Oraz sumę promieni i wartość bezwzględną ich różnicy:

Otrzymujemy że  czyli okręgi  oraz  przecinają się w dwóch punktach.

Przykład 2

Wyznacz wartość parametru , dla których okręgi  i  mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Dwa okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy, gdy są styczne zewnętrznie lub wewnętrznie, a więc musi zachodzić  lub , gdzie  oraz .

I.     (okręgi są styczne zewnętrznie) lub
II.     (okręgi są styczne wewnętrznie)

Ad. I.
Obliczamy:


 (obie strony równania są dodatnie)

a)    



b)    

Ad. II.
Obliczamy:


 (obie strony równania są dodatnie)

a)    



b)    

Wniosek: Okręgi  mogą być styczne dokładnie w jednym punkcie tylko wtedy, gdy są styczne zewnętrznie. Wówczas .

Przykład 3
Wyznacz współrzędne punktów wspólnych okręgów o równaniach  oraz .

Sporządźmy układ równań:

Okręgi  przecinają się w punktach o współrzędnych  oraz .

Zadania do zrobienia

1. Określ wzajemne położenie okręgów danych równaniami:

a) 

b)

Odp. a) okręgi mają dwa punkty wspólne (przecinają się)

b) okręgi są współśrodkowe

2. Dla jakich wartości parametru   ,  okręgi opisane równaniami:  oraz  mają dokładnie jeden punkt wspólny?

Odp. okręgi mają tylko jeden punkt wspólny dla   .

3. Wyznacz równanie prostej , względem której okręgi

 są wzajemnie symetryczne.

Odp.

4. Wyznacz równanie okręgu okręgu o najmniejszym promieniu, stycznego zewnętrznie do okręgu  i jednocześnie stycznego do prostej .

Odp. .