Dane są punkty  tworzące pewien trójkąt ABC. Niech  i .

Wiemy, że pole trójkąta ABC jest równe połowie iloczynu długości boków trójkąta i sinusa kąta pomiędzy nimi:


A więc zgodnie z przyjętymi przez nas oznaczeniami:


Wiemy ponadto że zachodzi:


A więc pole trójkąta ABC wynosi:


Liczba  to wyznacznik wektorów  i  oznaczany w matematyce jako . Otrzymujemy więc że:

 i wiemy jednocześnie że . Ostatecznie:

Przykład 1

Oblicz pole trójkąta ABC o wierzchołkach

Aby obliczyć pole trójkąta ABC będziemy musieli wyznaczyć współrzędne wektora  i wektora :

Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta o wzorze:

Otrzymujemy że:

Pole trójkąta ABC jest równe 45.

Przykład 2

Na paraboli o równaniu  wyznaczono punkt C w taki sposób że trójkąt ABC o wierzchołkach  ma minimalne pole. Wyznacz współrzędne tego punktu C i minimalne pole trójkąta ABC.

Współrzędne punktu C możemy zapisać w postaci:

Ze wzoru  policzymy pole trójkąta ABC:

Wiemy że , ostatecznie mamy więc:

Aby pole trójkąta ABC było minimalne to wartość funkcji  w pewnym punkcie również musi być minimalna. Szukamy jej wierzchołka:



 

Szukane pole trójkąta jest więc równe 15 pod warunkiem że . Wyznaczmy współrzędną y-ową punktu C:

Wniosek: Współrzędne punktu C dla którego pole trójkąta ABC jest minimalne to  a samo pole jest równe .